O conjunto verdade em R da equação 5x² - 20 = 0 é:
a) V = {2,-2}
b) V = {-1,-2}
c) V = {7,-7}
d) V = {15,-15}
Respostas
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
A RESOLUÇÃO SERÁ APRESENTADA DE DUAS FORMAS:
- 1ª FORMA: Sem o cálculo do discriminante (Δ) e da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva da equação do segundo grau), por se tratar de uma equação incompleta (uma equação completa do 2º grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 e, ao analisar esta questão, verifica-se que não há o termo +bx):
5x² - 20 = 0 ⇒
5x² = 20 ⇒
x² = 20/5 ⇒
x² = 4 ⇒
x = √4 ⇒ (Ao fatorar-se 4, tem-se 2² (2.2=4).)
x = √2² ⇒
x = +2 ou
x = -2
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- 2ª FORMA: Calculando o discriminante e aplicando a Fórmula de Bhaskara:
(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
5.x² - 20 = 0
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 5, b = 0, c = (-20)
(II)Cálculo do discriminante (Δ), utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (0)² - 4 . (5) . (-20) ⇒
Δ = 0 - 4 . 5 . (-20) ⇒
Δ = -20 . (-20) ⇒ (Veja a Observação abaixo.)
Δ = 400
OBSERVAÇÃO: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação 5x²-20=0 terá duas raízes pertencentes ao conjuntos dos reais e diferentes.
(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b +- √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(0) ± √400) / 2 . (5) ⇒
x = (± √400) / 10 ⇒
x' = +20/10 ⇒ x' = 2
x'' = -20/10 ⇒ x' = -2
Resposta: Os valores de x (raízes) são -2 e 2. (ALTERNATIVA A.)
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
- V={x E R / x = -2 ou x = 2} (leia-se "o conjunto verdade é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos dois ou x é igual a dois") ou
- V={-2, 2} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos menos dois e dois".)
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VERIFICAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x' = -2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
5.x² - 20 = 0 ⇒
5 . (-2)² - 20 = 0 ⇒
5 . (-2)(-2) - 20 = 0 ⇒
5 . 4 - 16 = 0 ⇒
20 - 20 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = -2 é solução (raiz) da equação.)
→Substituindo x = 2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
5.x² - 20 = 0 ⇒
5 . (2)² - 20 = 0 ⇒
5 . (2)(2) - 20 = 0 ⇒
5 . 4 - 20 = 0 ⇒
20 - 20 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = 2 é solução (raiz) da equação.)
→Veja outras tarefas sobre equação do segundo grau e resolvidas por mim:
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