Question

Numa PA crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar e 30 e a soma dos termos de ordem par é 39. Escreva essa PA.

Answer 1

Termo geral de uma P.A.:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Onde:

$a_n$ é o n-ésimo termo;

$a_1$ é o primeiro termo;

$n$ é o número de termos;

$r$ é a razão da progressão.

Teremos 6 termos, escrevemos todos em função do primeiro:

$a_1$,

$a_2 = a_1 + r$,

$a_3 = a_1 + 2 \cdot r$,

$a_4 = a_1 + 3 \cdot r$,

$a_5 = a_1 + 4 \cdot r$ e

$a_6 = a_1 + 5 \cdot r$.

A soma dos termos de ordem ímpar é:

$S_i = a_1 + a_3 + a_5 = 30$

Substituindo:

$a_1 + a_1 + 2 \cdot r+ a_1 + 4 \cdot r = 30$

$3 \cdot a_1 + 6 \cdot r = 30$

Tira o 3 em evidência:

$3 \cdot (a_1 + 2 \cdot r) = 30$

Passa dividindo:

$a_1 + 2 \cdot r = \dfrac{30}{3}$

$a_3 = a_1 + 2 \cdot r = 10$

Agora, a soma dos termos de ordem par é:

$S_p = a_2 + a_4 + a_6 = 39$

Substituindo:

$a_1 + r + a_1 + 3 \cdot r + a_1 + 5 \cdot r = 39$

$3 \cdot a_1 + 9 \cdot r = 39$

Tira o 3 em evidência:

$3 \cdot (a_1 + 3 \cdot r) = 39$

Passa dividindo:

$a_1 + 3 \cdot r = \dfrac{39}{3}$

$a_4 = a_1 + 3 \cdot r = 13$

Assim descobrimos quanto valem o terceiro e o quarto termo da P.A.

Se o terceiro vale 10 e o quarto vale 13, podemos calcular a razão:

$r = a_4 - a_3 = 13 - 10 = 3$

O segundo termo então é 7 e o primeiro 4, a P.A. é:

$\boxed{a_n = 4 + 3 \cdot (n-1)}$

ou 4, 7, 10, 13, 16 e 19.