Question

Calcule o valor de p na equação x² – (p + 4)x + 4 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais. URGENTE PFVVVV

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{p=0~ou~p=-8}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação, devemos relembrar alguns detalhes acerca de discriminante delta.

Sabemos que ele leva esse nome pois a partir de seu cálculo, podemos estudar a relação entre as raízes de uma equação quadrática.

Lembre-se que em uma equação completa $ax^2+bx+c=0$, o discriminante pode ser calculado da seguinte maneira: $\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c$

Existem três casos possíveis, são eles:

• $\Delta > 0$, significa que a equação tem duas raízes reais e distintas
• $\Delta=0$, significa que a equação tem duas raízes reais e iguais (ou de multiplicidade 2)
• $\Delta <0$, significa que a equação não tem raízes reais (sendo então complexas e podem ser calculadas em $\mathbb{C}$ com a ajuda do número imaginário $i$).

Dito isto, analisemos a questão:

Pede-se o valor de p, de forma que a equação $x^2 - (p + 4)\cdot x + 4 =0$ apresente duas raízes reais e iguais.

Para isto, utilizaremos o caso em que o discriminante delta é igual a zero.

Na equação, podemos encontrar os seguintes coeficientes:

$\begin{cases}a=1\\ b = -(p+4)\\ c = 4\\\end{cases}$

Substituindo os valores na fórmula do discriminante, ficamos com:

$\Delta = (-(p+4))^2 - 4\cdot1\cdot4$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\Delta = p^2+8p+16 - 16$

Some os valores

$\Delta=p^2 + 8p$

Então, iguale a expressão do discriminante a zero

$p^2+8p=0$

Para resolvermos esta equação incompleta, utilizaremos a fatoração.

Podemos ver que $p$ é um fator comum em evidência, logo

$p\cdot(p+8)=0$

Para que um produto seja igual a zero, pelo menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Isto significa que existem duas situações, nas quais:

$p = 0$

Ou

$p+8=0$

Calculando o valor de $p$, subtraindo 8 em ambos os lados, ficamos com:

$p = -8$

Estas são as duas soluções para $p$ que satisfazem as condições do enunciado.