Question

Sejam a e b números inteiros positivos tais que mdc (a,b) =18 e ab =3888.
Para tais números, o menor valor que a+b pode assumir é :
(a) 108
(b) 126
(c) 144
(d) 198
(e) 234
responder pf

Answer 1

Se $\mathrm{mdc}\left(a,\,b \right )=18$, então $a$ e $b$ são ambos múltiplos de $18$. Sendo assim, existem dois números inteiros positivos $k_{1}$ e $k_{2}$, tais que

$a=18\cdot k_{1}\\ \\b=18\cdot k_{2}$


Queremos encontrar a mínima soma possível entre estes dois números, ou seja a expressão seguinte deve ser a mínima possível:

$a+b=18\cdot \left(k_{1}+k_{2} \right )$


Multiplicando $a$ e $b$, temos

$ab=\left(18k_{1} \right )\cdot \left(18k_{2} \right )\\ \\ 3\,888=18^{2}\cdot k_{1}\cdot k_{2}\\ \\ 3\,888=324\cdot k_{1}\cdot k_{2}\\ \\k_{1}\cdot k_{2}=\dfrac{3\,888}{324}\\ \\ k_{1}\cdot k_{2}=12$


Ou seja, $k_{1}$ e $k_{2}$ são fatores do número $12$. As únicas possibilidades para estes números são:

$\bullet\;\;k_{1}=1\text{ e }k_{2}=12\\ \\ \bullet\;\;k_{1}=2\text{ e }k_{2}=6\\ \\ \bullet\;\;k_{1}=3\text{ e }k_{2}=4$

(poderíamos inverter os valores de $k_{1}$ e $k_{2}$, mas isto não afetaria o resultado encontrado)


Para minimizar a soma

$a+b=18\cdot \left(k_{1}+k_{2} \right )$


basta encontrar a menor soma possível para os números $k_{1}$ e $k_{2}$. A opção que oferece a soma mínima é

$\bullet\;\;k_{1}=3\text{ e }k_{2}=4$


Logo, a soma mínima possível é

$a+b=18\cdot \left(3+4 \right )\\ \\ a+b=18\cdot 7\\ \\ a+b=126$


Resposta: alternativa $\text{(b)\,}126.$