Matéria: Matemática
Autor: pedrotheophilo2
Perguntado 6 anos atrás

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Sabendo que 1 é raiz da equação x³ + 7x² + kx - 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes.
A) k = 7 e as outras duas raízes não são reais
B) k = 7 e as outras duas raízes são 3 e 5
C) k = -7 e as outras duas raízes são 3 e 5
D) k = -7 e as outras duas raízes são -3 e -5
E) k = 7 e as outras duas raízes são -3 e -5

Respostas

respondido por: lizzyl

175

Então, vamos lá:

Tendo 1 como raiz, significa que ao substituir as incógnitas a equação será igual a 0:

x³ + 7x² + kx - 15 = 0

(1)³+7(1)²+ k(1)-15=0

1+7-15+k=0

k-7= 0

k= 7

Descobrimos o valor do k. Agora, precisamos encontrar as outras raízes.

Vamos utilizar o dispositivo de Briot- Ruffini, ou seja faremos uma divisao do polinômio dado por (x-1), lembrando para encontrar a equação de segundo grau usando

1 | 1 7 7 -15

()| 1 8 15 0

(Coloquei esse parente vazio pra indicar que aqui não tem nada, pra ficar certinho na hora de salvar a resposta).

Então, a nossa equação de segundo grau será: x²+8+15=0

Agora utilizaremos Bhaskara, lembrando que a=1, b= 8 e c= 15

∆=b²-4ac

∆= (8)²-(4)(1)(15)

∆= 4

Para as raízes:

x1= -b +√∆/2a

x1= -8+2/2

x1= -6/2

x1= -3

x2= -b-√4/2a

x2= -8-2/2

x2= -10/2

x2= -5

Resposta: letra e.

Segue em anexo como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini, se não compreender aconselho a procurar vídeo aula. Porque as imagens podem ser um tanto confusas de você não sabe polinômio.

Abraços e bons estudos.

Anexos:

respondido por: Anônimo

Utilizand odefinição de função de segundo grau, vemos que o valor de 'k' é 7 e as outras duas raízes são -2 e -5, letra E.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que nos foi dada a equação:

x³ + 7x² + kx - 15 = 0

Primeiramente, se sabemos que x = 1 é raíz desta equação, podemos simplesmente substituir 'x' por 1 e igualarmos a 0, assim descobriremos 'k' ao isolarmos estes:

x³ + 7x² + kx - 15 = 0

1³ + 7 . 1² + k . 1 - 15 = 0

1 + 7 + k - 15 = 0

k - 7 = 0

k = 7

Assim já sabemos que 'k' vale 7, então esta equação na verdade é:

x³ + 7x² + 7x - 15 = 0

E agora para descobrirmos as outras raízes, podemos transformar esta equação de terceiro grau em uma de segundo grau, dividindo ela pela raíz que já conhecemos de x = 1, desta forma só ficarão as outras duas raízes.

Um raíz na forma polinomial é representada por "( x - raiz )", ou seja, no nosso caso a nossa raíz é dada por "( x - 1 )", então dividindo nosso polinomio por esta raíz ficamos com:

x³ + 7x² + 7x - 15 | x - 1

8x² + 7x - 15 x² + 8x + 15

15x - 15

E assim vemos que o resultado desta divisão é nosso equação restante de segundo grau:

x² + 8x + 15 = 0

Agora basta descobrirmos as raízes dela pro Bhaskara:

Δ = b² - 4ac = 8² - 4.1.15 = 64 - 60 = 4

x = ( - b ± √Δ ) / 2a

x = ( - 8 ± √4 ) / 2 . 1

x = ( - 8 ± 2 ) / 2

x' = ( - 8 - 2 ) / 2 = - 5

x'' = ( - 8 + 2 ) / 2 = - 3