Question

por favor me ajudem e importante
Na P.A. onde a soma do terceiro termo com o quinto termo vale 30 e a diferença do sexto termo e o primeiro termo vale 20. O oitavo termo será:
a) 25

b) 27

c) 29

d) 31

e) 33
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Answer 1

Progressão aritmética ( P.A )

O termo geral da P.A é dado por :

$\fbox{\displaystyle a_n = a_1 +(n-1).r }$

onde :

$a_1 =$ Primeiro termo.

$n =$ número do termo.

$r =$ razão.

A o oitavo termo, ou seja, n = 8. Vamos achá-lo usando a "fórmula" do termo geral :

$\fbox{\displaystyle a_8 = a_1 +(8-1).r \to a_8 = a_1 + 7.r }$

Agora vamos usar as informações do enunciado.

1ª A soma do terceiro termo com o quinto termo vale 30, ou seja :

$\fbox{\displaystyle a_3 + a_5 = 30 }$

sendo :

$\displaystyle a_3 = a_1 + (3-1).r \to a_3 = a_1 +2.r$

$a_5 = a_1 + (5-1).r \to a_5 = a_1 + 4.r$

substituindo termos :

$\fbox{\displaystyle a_3 + a_5 = 30 }$ ⇒  $\fbox{\displaystyle a_1+2.r + a_1+4.r = 30 }$

arrumando um pouco, temos :

$\fbox{\displaystyle 2a_1 + 6.r = 30 \to a_1 + 3.r = 15 }$

2ªE a diferença do sexo termo e o primeiro termo vale 20, ou seja :

$\fbox{\displaystyle a_6 - a_1 = 20 }$

onde :

$a_6 = a_1 + (6-1).r \to a_6 = a_1 + 5.r$

Substituindo :

$\fbox{\displaystyle a_6 - a_1 = 20 }$ ⇒ $\fbox{\displaystyle a_1+5.r - a_1 = 20 }$

Com isso podemos achar a razão :

$\fbox{\displaystyle 5.r = 20 \to r = 4 }$

Agora vamos achar o 1º termo. usando a 1ª informação

$\fbox{\displaystyle a_1 + 3.r = 15 }$

substituindo a razão a isolando o primeiro termo :

$\fbox{\displaystyle a_1 + 3.4 = 15 \to a_1 = 15 - 12 \to a_1 = 3 }$

Por fim, vamos achar o oitavo termo :

$\fbox{\displaystyle a_8 = a_1 + 7.r }$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle a_8 = a_1 + 7.r \to a_8 = 3 +7.4 \to a_8 = 3 + 28 }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle a_8 = 31 }$

Letra d