Question

Quais são os valores de x para que a sequência (x – 1, 14, 3x + 4) seja uma PG? 8 e – 25/3 – 8 e – 25/3 – 8 e – 2 8 e 25/3 8 e – 2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~8~e~-\dfrac{25}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos acerca de progressões geométricas.

Dada uma sequência de n termos, com n sendo um número par ou ímpar, existem dois casos associados:

• Quando n é par, ou seja, não existe um termo central, o produto de dois números consecutivos é igual ao produto dos números equidistantes de ambos.
• Quando n é ímpar, existe um termo central. O quadrado deste número é igual ao produto de dois números equidistantes dele.

Vamos para a prática:

A sequência é $\{x-1,~14,~3x+4\}$

Aplicando o conceito discutido acima, teremos que

$14^2=(x-1)\cdot(3x+4)$

Calcule a potência e o produto, efetuando a propriedade distributiva da multiplicação

$196=3x^2+4x-3x-4$

Some os termos semelhantes

$3x^2+x-4=196$

Subtraia 196 em ambos os lados, a fim de igualar a equação a zero

$3x^2+x-4-196=0\\\\\\ 3x^2+x-200=0$

Para resolvermos esta equação quadrática, utilizaremos a fórmula resolutiva (também conhecida como Fórmula de Bháskara).

Sabemos que dada uma equação completa de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, com $a\neq 0$, teremos uma equação quadrática cujas soluções são:

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substitua os valores dos coeficientes na fórmula resolutiva

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-200)\cdot3}}{2\cdot 3}$

Efetue as propriedades da multiplicação e dos sinais

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+2400}}{6}$

Some os valores

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{2401}}{6}$

Sabendo que $2401=49^2$, podemos simplificar a raiz

$x=\dfrac{-1\pm49}{6}$

Separando as soluções, ficaremos com

$x_1=\dfrac{-1+49}{6}=\dfrac{48}{6}~~~~~~x_2=\dfrac{-1-49}{6}=-\dfrac{50}{6}$

Simplificando as frações, ficaremos com

$x_1=8~~~~~~x_2=-\dfrac{25}{3}$

Estes são os valores de x que fazem desta sequência uma progressão geométrica e é a resposta contida na letra a).