Question

ME AJUDEM NESSA QUESTÃO POR FAVOR A área da base de um cone de revolução é 1/3 da área total . Calcule o ângulo, em graus, do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone.

Answer 1

Resposta:

180°

Explicação passo-a-passo:

Sejam r e g, respectivamente as medidas do raio da base e da geratriz do cone.

A área da base é dada por:

$A_b=\pi\cdot r^2$

A área lateral é dada por:

$A_l=\pi \cdot r \cdot g$

A área total é:

$A_t= A_b + A_l\\\\A_t=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r \cdot g\\\\A_t=\pi \cdot r \cdot (r+g)$

Como a área da base é 1/3 da área total, temos:

$A_b=\frac{1}{3} \cdot A_t\\\\\pi \cdot r^2=\frac{1}{3} \pi \cdot r \cdot (r + g)$

Dividindo a expressão toda por $\pi \cdot r$, temos:

$r=\frac{r+g}{3}$

Multiplicando os dois membros da equação por 3, temos:

$3r=r+g\\\\3r-r=g\\\\2r=g\\\\r=\frac{g}{2}$

O comprimento da base do cone é:

$C =2\cdot \pi \cdot r=2\cdot \pi \cdot\frac{g}{2} =\pi \cdot g$

Abrindo o cone, como na figura abaixo, vamos ter um setor circular de comprimento $C = \pi \cdot g$ e raio $g$.

O comprimento de uma volta completa numa circunferência de raio $g$ é $2 \cdot \pi \cdot g$, o que corresponde a um ângulo de 360°. Para determinar o ângulo de um  comprimento circular de medida $\pi \cdot g$ vamos usar a regara de três:

Sendo x a medida do ângulo procurado, temos:

$2 \cdot \pi \cdot g \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;360^{o}\\\\\pi \cdot g \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x$

Multiplicando cruzado, temos:

$x \cdot 2 \cdot \pi \cdot g= 360^{o} \cdot \pi \cdot g$

Dividindo a equação toda por $\pi \cdot g$, temos:

$2x=360^{o}\\\\x=\frac{360^{o}}{2} \\\\x=180^{o}$