Question

a² = pb²

*sejam a,b e p números naturais. Como eu posso DEMONSTRAR que p é um número composto, isto é, pode ser escrito como um produto de números primos?​​

Answer 1

De início, note que:

$A^2 = p.b^2 \Rightarrow\\\\(A^2)^{1/2} = (p.b^2)^{1/2}\\\\\boxed{A = +b~\cdot\sqrt{p}}$

Como A, b e p são naturais, portanto p deve ser um quadrado perfeito, ou seja, um número da forma: p = k², com k e N*. A justificativa é simples: deve-se existir raiz quadrada exata para que o produto (b * √p) seja natural.  

Pela definição, deduzimos que um número é composto quando ele não é primo. Isso vale para todos os naturais, exceto o 1, pois para que um número não seja primo basta que ele seja produto de - no mínimo - dois primos. Veja, por exemplo, que o menor composto é o 4 = 2*2.

Ou seja, provar que p é composto é o mesmo de dizer que ele nunca será primo.

De fato, como p = k² (com k ∈ N ∧ k ≥ 2) e já que k não pode ser 1, é fácil observar que ele tem mais de um divisor além de 1 e ele mesmo: o "k". Observe:

p = k² = k*k  

D(p) = {1, k, k²}

Logo, como sabemos que para p ser primo ele precisa ser divisível somente por 1 e ele mesmo, então, pela definição de primo, p não é primo - pois tem um divisor a mais: k. Portanto, p nunca será primo e sim um número composto.