Matéria: Matemática
Autor: fernandasiuvespl
Perguntado 6 anos atrás

QUESTÃO 03 Quais são as raízes que satisfazem a equação 9y² – 12y + 4 = 0

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Sabendo-se que uma equação do segundo grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 (com a necessariamente diferente de zero, caso contrário, o termo ax² zeraria e ter-se-ia uma equação do primeiro grau), inicialmente, para melhor entendimento das demais etapas da resolução, pode-se proceder à determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

9.y² - 12.y + 4 = 0 (Veja a Observação 1.)

a.x² + b.x + c = 0

Coeficientes: a = 1, b = (-7), c = -8

OBSERVAÇÃO 1: Embora haja sido usada a incógnita "y" na equação do exercício, a comparação pode ser feita normalmente. A incógnita "x" é a mais usada nas representações genéricas de equações e pode ser substituída por qualquer outra sem prejuízo de análise.

(II)Cálculo do discriminante (Δ), que é valor que diz o número de raízes e se elas estão no conjunto dos números reais ou no dos complexos, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-12)² - 4 . (9) . (4) ⇒

Δ = 144 - 4 . (9) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2 abaixo.)

Δ = 144 - 36 . 4 ⇒

Δ = 144 - 144

Δ = 0

OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor igual a zero, a equação 9y²-12y+4=0 terá duas raízes iguais e pertencentes ao conjunto dos números reais.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(-12) ± √0) / 2 . (9) ⇒

x = (12 ± 0) / 18 ⇒

x' = x'' = 12/18 (Dividem-se ambos por 6.) ⇒ x' = x'' = 2/3

Resposta: As raízes da equação são iguais a 2/3.

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

V={x E R / x = 2/3} (leia-se "o conjunto verdade é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a dois terços") ou

V={2/3} (leia-se "o conjunto verdade é constituído pelo elemento dois terços". Na representação por meio de conjunto, não se repete um elemento que possui mais de uma ocorrência.)

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VERIFICAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo x = 2/3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

9y² – 12y + 4 = 0

9 . (2/3)² - 12 . (2/3) + 4 = 0

9 . (2²/3²) - 12 . (2/3) + 4 = 0

9 . (4/9) - 12 . (2/3) + 4 = 0

36/9 - 12 . (2/3) + 4 = 0

4 - 24/3 + 4 = 0

4 - 8 + 4 = 0

-4 + 4 = 0

0 = 0 (Provado que x = 2/3 é solução (raiz) da equação.)

→Veja outras tarefas sobre equação do segundo grau e resolvidas por mim: