Question

Em uma festa organizada pelo Grêmio Estudantil da escola, ficou combinado que todos se cumprimentariam da seguinte maneira:

• Um menino cumprimentaria outro menino apenas com um abraço, tanto na chegada como na saída.

• Uma menina cumprimentaria outra menina com um beijo no rosto, tanto na chegada como na saída.

• Um menino cumprimentaria uma menina com um abraço na chegada e com um beijo no rosto na saída.

Sabendo que foram vendidos 45 ingressos no total, que todos os que compraram o ingresso compareceram à festa e que houve um total de 1 188 abraços, o número de meninos nessa festa excedeu o de meninas em

A
9.

B
18.

C
27.

D
28.

E
30.​

Answer 1

Resposta:

A) 9

Explicação passo-a-passo:

Seja x o número de meninos e y o número de meninas.

Como foram vendidos 45 ingressos, então:

$x+y=45$, donde $y=45-x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( i )$

Total de abraços entre meninos: como cada abraço envolve 2 pessoas, na chegada foram trocados $C_{x,2}$ e na saída $C_{x,2}$ ou seja, $2\cdot C_{x,2}$

Abraços entre meninas não tem.

Total de abraços entre meninos e meninas: $x \cdot y$ na chegada e nenhum na saída.

Assim, o total de abraços que foram dados na festa foi:

$2\cdot C_{x,2}+x\cdot y = 1188$

Vamos desenvolver essa última equação:

$2\cdot C_{x,2}+x\cdot y = 1188\\\\2\cdot \frac{x!}{2!\cdot(x-2)!} +xy=1188\\\\2\cdot \frac{x\cdot(x-1)\cdot(x-2)!}{2\cdot(x-2)!} +xy=1188$

Simplificando $(x-2)!$  com $(x-2)!$  e 2 com 2, temos:

$x\cdot (x-1)+xy=1188\\\\x^2-x+xy=1188\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( ii )$

Substituindo o valor de $y$ da equação $( i )$  na equação $( ii )$, temos:

$x^2-x+x\cdot (45 - x)=1188\\\\x^2-x+45x-x^2=1188\\\\44x=1188\\\\x=\frac{1188}{44} \\\\x=27$

Substituindo $x=27$ na equação $( i )$, temos:

$y=45-27\\\\y=18$

Então na festa tem 27 meninos e 18 meninas. O número de meninos excedeu o de meninas em: $27 - 18 = 9$