Question

Os casos de coronavírus dobram a cada 3 dias num determinado país. Se hoje são 200 casos, em quanto tempo chegaria a 1 milhão de casos? Dica: tem que usar logaritmo: Log 2, log5 e ???

Answer 1

Considerando período de 3 dias (como sugere o texto), vamos ver como se comporta a evolução do numero de casos:

200 , 400 , 800 , 1600 , 3200 .....

Como podemos ver na sequencia acima, o numero de casos evolui exponencialmente, seguindo uma PG de razão 2 (q=2).

Utilizando a relação do termo geral da PG (abaixo), vamos determinar o numero "n" de períodos que terão se passado quando o chegarmos a 1 milhão de casos (an).

$\boxed{a_n~=~a_1\cdot q^{n-1}}$

$1.000.000~=~200\cdot2^{n-1}\\\\\\\dfrac{1.000.000}{200}~=~2^{n-1}\\\\\\5.000~=~2^{n-1}\\\\\\Aplicando~o~logaritmo~de~base~10~em~ambos~lados~da~equacao:\\\\\\\log5000~=~\log2^{n-1}\\\\\\Reescrevendo~5000~como~o~produto~5\cdot10^3\\\\\\\log\,(5\cdot10^3)~=~\log2^{n-1}$

$Aplicando~a~\underline{propriedade~do~logaritmo~do~produto}\\\\\\\log5~+~\log10^3~=~\log2^{n-1}\\\\\\Aplicando~a~\underline{propriedade~do~logaritmo~da~potencia}\\\\\\\log5~+~3\cdot\log10~=~(n-1)\log2\\\\\\\log5~+~3\cdot1~=~(n-1)\cdot\log2\\\\\\\log5~+~3~=~(n-1)\cdot\log2\\\\\\\dfrac{\log5~+~3}{\log2}~=~n-1\\\\\\\boxed{n~=~\dfrac{\log5~+~3}{\log2}~+~1}$

Vamos lembrar, no entanto, que "n" equivale a períodos de 3 dias, ou seja, caso queiramos o valor de dias, vamos precisar multiplicar "n" por 3:

$Numero~de~dias~=~3\cdot n\\\\\\Numero~de~dias~=~3\cdot\left(\dfrac{\log5+3}{\log2}+1\right)\\\\\\\boxed{Numero~de~dias~=~\dfrac{3\cdot\log5+9}{\log2}+3~dias}$

Ainda, caso seja de interesse, podemos utilizar aproximações para o log2 e log5 e substituir na expressão.

Utilizando log2=0,30 e log5=0,70

$Numero~de~dias~=~\dfrac{3\cdot0,70+9}{0,30}+3\\\\\\Numero~de~dias~=~\dfrac{2,10+9}{0,30}+3\\\\\\Numero~de~dias~=~\dfrac{11,10}{0,30}+3\\\\\\Numero~de~dias~=~37+3\\\\\\\boxed{Numero~de~dias~=~40~dias}$