1 - Uma pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 8 cm e altura mede 3 cm, calcular: Apótema da base Apótema da pirâmide Área da base Área lateral Área total Volume 2- Determine a Área total de uma pirâmide regular cuja altura é de 15 cm e cuja base é um quadrado de lado 16: Apótema da base Apótema da pirâmide Área da base Área lateral Área total 3- Numa pirâmide triangular regular a aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral 10 cm. Calcule: Apótema da base Apótema da pirâmide Altura da pirâmide Área da base Área lateral *Área total

Respostas

respondido por: BrianPozzobon

esta ai, espero que tu consiga entender as contas e a escrita

Anexos:

respondido por: matematicman314

As medidas solicitadas são:

1) Apótema da base = 4 cm

Apótema da pirâmide = 5 cm

Área da base = 64 cm²

Área lateral = 80 cm²

Volume = 64 cm³

2) Área total = 800 cm²

Apótema da base = 8 cm

Apótema da pirâmide = 17 cm

Área da base = 256 cm²

Área lateral = 544 cm²

3) Apótema da base = 2√3 cm

Apótema da pirâmide = 8 cm

Área da base = 36√3 cm²

Área lateral = 144 cm²

Volume = 144 cm² + 36√3 cm²

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Na Geometria espacial, apótemas, áreas e volume são elementos importantes associados aos diferentes poliedros regulares. A pirâmide, como um exemplo, é o sólido formado a partir de segmentos de reta que partem de cada vértice de um polígono contido em um plano a um ponto fora deste. As pirâmides recebem nomes especiais a depender do polígono contido em sua base.

A fim de responder a cada questão proposta, as soluções serão dadas em etapas. Vamos à resolução.

1) O apótema da base da pirâmide é o segmento perpendicular a qualquer um dos lados que vai do ponto médio de um dos lados ao centro da base. Como no caso tem-se uma pirâmide base quadrangular, a base é um quadrado. Logo, o apótema vale metade do lado do quadrado. Desta forma,

Apótema da base = 4 cm

O apótema da pirâmide (Ap) equivale à altura da face lateral que é um triângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo dado pelo apótema da base, a altura e o apótema da pirâmide, temos:

(Ap)² = 4² + 3²

(Ap)² = 16 + 9

(Ap)² = 25

Apótema da pirâmide = 5 cm

A área da base (Ab) é a área do quadrado de lado 8 cm. Desta forma, área da base = 8² = 64 cm².

A área lateral(Al) é a soma das áreas dos triângulos que constituem a face lateral. Todos são iguais. Assim sendo, área lateral = 4 × (b × h)/2 = 4 × (8 × 5)/2 = 80 cm².

O volume é dado fazendo um terço do produto da área da base pela altura. Matematicamente, V = (Ab × h)/3. Substituindo,

Volume = (64 x 3) / 3 = 64 cm³

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2) A área total(AT) é a soma das áreas da base(Ab) e área lateral(Al). Assim,

AT = Ab + Al

A área da base equivale a área de um quadrado de lado 16 cm. Logo, Ab = 16² = 256 cm²

A área lateral equivale a soma das áreas dos triângulos que compõem a face lateral. Contudo, precisamos primeiramente descobrir o apótema da pirâmide que equivale a altura dos triângulos. Por Pitágoras,

(Ap)² = 8² + 15²

(Ap)² = 64 + 225

(Ap)² = 289

Ap = 17

Logo,

Al = 4 × (b × h)/2 = 4 × (16 × 17)/2 = 544 cm².

Assim, AT = Ab + Al = 256 cm² + 544cm² = 800 cm²

$\dotfill$

3) O apótema da base, nesse caso, equivale à um terço da altura da pirâmide. Este resultado vem do fato de que a altura, para um triângulo equilátero, coincide com as bissetrizes internas e, desta forma, o ortocentro coincide com o incentro. A altura por sua vez pode ser calculada pela fórmula:

$h = \frac{l\sqrt{3} }{2}$