Question

Ao chutar uma bola, a trajetória que a bola segue no ar é a representada pela função f(x) = — 1 5 x2 + 2x, em que x corresponde ao deslocamento horizontal, medido em metros, e y = f(x) corresponde à altura alcançada pela bola, também medida em metros. a) Qual a forma da trajetória seguida pela bola? b) Qual é a altura alcançada pela bola no instante em que ela se deslocou horizontalmente 3 metros? c) Qual é a altura máxima que a bola pode alcançar? d) Faça o gráfico da função que representa a trajetória da bola a partir das respostas anteriores.

Answer 1

a) A forma da trajetória seguida pela bola é de uma parábola, pois sua trajetória é definida por uma função do 2° grau.

b) A altura alcançada pela bola no instante em que ela se deslocou horizontalmente 3 metros é de 4,2 m.

> cálculo:

Basta substituirmos o valor de x na função por 3.

f(x) = - 1/5x² + 2x

f(3) = - 1/5.3² + 2.3

f(3) = - 1/5.9 + 6

f(3) = - 9/5 + 6

f(3) = - 1,8 + 6

f(3) = 4,2

c) A altura máxima que a bola pode alcançar é de 5 m.

> cálculo:

A altura máxima é determinada pelo vértice da parábola.

Yv = - Δ

        4a

Yv = - (b² - 4ac)

              4a

Como o valor do coeficiente c é zero, temos:

Yv = - b²

        4a

Yv = -   2²  

       4.(-1/5)

Yv = -   4  

       4.(-1/5)

Yv = -  1  

       - 1/5

Yv =  1  

       1/5

Yv = 5

d) O gráfico da função segue em anexo.

Answer 2

A bola percorre uma trajetória em forma de parábola. No instante em que a bola se deslocou 3 metros, sua altura era de 4,2 metros. A altura máxima que a bola pode atingir é de 5 metros. O gráfico da trajetória da bola segue abaixo.

a) Uma função de segundo grau do formato $f(x) = ax^{2} +bx +c$ possui o formato de uma parábola.

b) Para descobrirmos a altura da bola a partir de uma determinada posição horizontal, precisamos substituir o valor da posição na função $f(x) = -\frac{x^{2} }{5} + 2x$. Substituindo x por 3, obtemos:

$f(3) = -\frac{3^{2} }{5} + 2*3\\f(3) = -\frac{9}{5} +6\\f(3) = 6-1,8 = 4,2$

Assim, a posição da bola na posição horizontal de 3 metros é de 4,2 metros.

c) Para calcularmos o vértice (ponto mais extremo, seja acima ou abaixo) no eixo y, utilizamos a fórmula -Δ/4a, onde Δ = b² - 4*a*c, e os coeficientes a, b e c são os da fórmula descrita no enunciado ($a = \frac{-1}{5}$, $b = 2$, $c = 0$).

Calculando Δ, obtemos:

Δ = $b^{2} - 4*a*c$

Δ = $2^{2} - 4*\frac{-1}{5} *0 = 4$

Assim, o vértice é calculado por:

$V_{y} = \frac{-4}{4*-\frac{1}{5} } \\V_{y} = \frac{-4}{\frac{-4}{5} } \\V_{y} = 5$

Assim, descobrimos que o ponto máximo da da trajetória da bola no eixo y é igual a 5 metros.

d) A função é representada abaixo.

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