64- 1. Obtenha as raízes da equação x² - 169 = 0, em seguida analise as sentenças e responda qual é a alternativa correta.
Somente I é falsa.
Somente II é falsa.
Somente III é falsa.
Todas as afirmativas são falsas.

Anexos:

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

1ª PARTE DA RESOLUÇÃO: OBTENÇÃO DAS RAÍZES ⇒ SERÁ APRESENTADA DE DUAS FORMAS:

1ª FORMA (Mais simples): Sem o cálculo do discriminante (Δ) e da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva da equação do segundo grau), por se tratar de uma equação incompleta (uma equação completa do 2º grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 e, ao analisar esta questão, verifica-se que não há o termo +bx):

x² - 169 = 0 ⇒

x² = 169 ⇒

x = √169 ⇒ (Ao fatorar-se 169, tem-se 13² (13.13=169).)

x = √13² ⇒ (Divide-se o expoente 2 pelo índice 2 da raiz).

x = +13 (Porque 13² = 13.13 = 169.)

x = -13 (Porque (-13)² = (-13)(-13)=169)

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2ª FORMA (Mais complexa): Calculando o discriminante e aplicando a Fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva de equação quadrática):

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

1.x² - 169 = 0 (Veja a Observação 1.)

a.x² + b.x + c = 0

Coeficientes: a = 1, b = 0, c = (-169)

OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido. Assim, em vez de 1.x², tem-se apenas x².

(II)Cálculo do discriminante (Δ), utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (0)² - 4 . (1) . (-169) ⇒

Δ = 0 - 4 . (-169) ⇒

Δ = -4 . (-169) ⇒ (Veja a Observação 2.)

Δ = 676

OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-169=0 terá duas raízes diferentes e pertencentes ao conjunto dos números reais.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(0) ± √676) / 2 . (1) ⇒

x = (± √676) / 2 ⇒

x' = +26/2 ⇒ x' = 13

x'' = -26/2 ⇒ x'' = -13

Resposta: Os valores de x (raízes) são -13 e 13.

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

S={x E R / x = -13 ou x = 13} (leia-se "o conjunto solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos quatro ou x é igual a quatro") ou

S={-13, 13} (leia-se "o conjunto solução é constituído pelos elementos menos quatro e quatro".)

2ª PARTE DA RESOLUÇÃO: ANÁLISE DAS SENTENÇAS

I - A soma das raízes dessa equação é positiva (FALSA)

Justificativa: As raízes da equação x²-169=0, conforme cálculo acima realizado, são dois números formados pelos mesmos algarismos (1 e 3) e na mesma ordem, mas com sinais opostos. Logo, toda vez que se tem um caso como esse, a soma entre os números resultará em zero.

-13 + 13 = 0

II - O produto das raízes da equação é 169. (FALSA)

Justificativa: Produto é o resultado de uma multiplicação. Ao multiplicar-se 13 e -13, ter-se-á um resultado negativo, em razão da regra de sinais da multiplicação, a saber, dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo. Logo, +13 . (-13) = -169

III - O conjunto solução dessa equação é {-19, +19} (FALSA)

Justificativa: Conforme acima indicado, as soluções da equação x²-169=0 são -13 e +13. Note que, ao aplicar x = -19 e x = 19, a igualdade em zero não será mantida: