Question

Para cada função, determine os pontos de interseção com os eixos coordenados e o vértice para, em seguida, esboçar o gráfico a partir desses pontos. a) h (x) = x 2 + 6x + 8 b) f (x) = 5x 2 + 5x c) g (x) = —x 2 + 8x — 12

Answer 1

Podemos encontrar o ponto em que o gráfico toca o eixo y apenas encontrando o seu termo independente. Os pontos onde ele toca o eixo x são as raízes, que podem ser calculadas com a fórmula de Bhaskara. Para calcular o vértice, podemos usar a fórmula que deixarei abaixo ou então, dependendo dos coeficientes da equação podemos notar algumas características em suas equações.

Fórmulas para encontrar o vértice:

$x_v = -\dfrac{b}{2a} \\\\y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Vamos ao exercício:

a)  x² + 6x + 8

Ponto de intersecção com eixo y: (0,8)

Raízes: x = -2 ou x = -4

Vértice: (-3,-1)

• Cálculos:

$\Delta = 6^2 - 4.1.8\\\\\Delta = 4\\\\\\\sqrt{\Delta} = 2\\\\x_1 = \dfrac{-6+2}{2.1} = -2\\\\x_2 = \dfrac{-6-2}{2.1} = -4$                          $x_v = -\dfrac{6}{2.1} = -3\\\\y_v = -\dfrac{4}{4.1} = -1$

b) 5x² + 5x

Ponto de intersecção com eixo y: (0,0)

Raízes: x = 0 ou x = -1

Vértice: (-1/2,-5/4)

• Cálculos:

5x² + 5x = 5x (x + 1) = 0

x = 0 ou x = -1

$x_v = -\dfrac{5}{2.5} = -\dfrac12\\\\\\y_v = -\dfrac{25}{4.5} = -\dfrac54$

c) g(x) = -x² + 8x - 12

Ponto de intersecção com eixo y: (0,-12)

Raízes: x = 2 ou x = 6

Vértice: (4,4)

$\Delta = 8^2 - 4.(-1).(12)\\\\\Delta = 16\\\\\\\sqrt{\Delta} = 4\\\\x_1 = \dfrac{-8+4}{2.(-1)} = 2\\\\x_2 = \dfrac{-8-4}{2.(-1)} = 6$               $x_v = \dfrac{-8}{2(-1)}= 4\\\\\\y_v = \dfrac{-16}{4(-1)} = 4$

Os gráficos estão nas imagens.

Leia para entender os gráficos:

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Answer 2

Os pontos de interseção e os vértices para as respectivas funções são:

a) h(x) = x²+6x+8

Raízes: -4 e -2

Termo independente: 8

Coordenada do vértice: (-3, -1)

b) f(x) = 5x² + 5x

Raízes: -1 e 0

Termo independente: 0

Coordenada do vértice: (-5/4, -1/2)

c) g(x) = -x² + 8x -12

Raízes: 2 e 6

Termo independente: -12

Coordenada do vértice: (4,4)

Resolução

Para solucionar o problema é necessário um conhecimento prévio acerca da função do segundo grau.

Para o cálculo das raízes utilizaremos a seguinte fórmula:

Δ = b² - 4.a.c

x = -b ±√Δ

         2.a

em que: a e b  são os coeficientes da equação, c é o termo independente.

Esses pontos representam a inteseção da função com eixo X.

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O outro ponto de interseção é o termo independente.

O termo independente em uma função é aquele que não acompanha a variável X. É, normalmente, representado pela letra C na função genérica:

F(x) = Ax² + Bx + C

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E, por último, o cálculo do vértice da função.

As coordenadas do Xv e Yv são calculadas, respectivamente:

Xv = - b

        2.a

Yv = - Δ  

        4.a

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Desta forma, para as funções solicitadas temos:

a) Raízes: -4 e -2

   Termo independente: 8

    Coordenada do vértice: (-3, -1)

h(x) = x²+6x+8

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 4

x = -b ±√Δ

         2.a

x' = -4

x'' = -2

Xv = - b   = -3

        2.a

Yv = - Δ   = -1

        4.a

b) Raízes: -1 e 0

   Termo independente: 0

    Coordenada do vértice: (-5/4, -1/2)

f(x) = 5x² + 5x

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 25

x = -b ±√Δ

         2.a

x' = -1

x'' = 0

Xv = - b   = -5/4

        2.a

Yv = - Δ   = -1/2

        4.a

c) Raízes: 2 e 6

   Termo independente: -12

    Coordenada do vértice: (4, 4)

g(x) = -x² + 8x -12

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 16

x = -b ±√Δ

         2.a

x' = 2

x'' = 6

Xv = - b   = 4

        2.a

Yv = - Δ   = 4

        4.a