Question

Sendo sen x + cos x = 1/5, (A) Determine sen x e cos x. (B) Represente na circunferência trigonométrica todos os ângulos x que satisfazem a igualdade dada.

Answer 1

Equação fundamental da trigonometria:

$\sin ^2 x +\cos ^2x = 1$

$\sin x = \frac{1}{5}-\cos x$

$(\frac{1}{5} -\cos x)^2 +\cos ^2x = 1$

Produtos notáveis → quadrado da diferença

$\dfrac{1}{25}-\dfrac{2\cos x}{5}+\cos ^2x +\cos ^2x =1$

considernado cos x = y

50y² - 10y - 24 = 0

25y² - 5y - 12 = 0

Bhaskara:

$\Delta = 5^2-4.25.(-12) = 25(1-48)=25.47$

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25.47}}{2.25}= \dfrac{5\pm 5.7}{50}$

$x'= \dfrac{5+35}{50} = \dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}$

$x'' = \dfrac{5-35}{50}=\dfrac{-3}{5}$

$\cos x = \sqrt{\dfrac{4}{5}}= \dfrac{2}{\sqrt{5}}.\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin x = \dfrac{1}{5}- \dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1-2\sqrt{5}}{5}$

Espero ter ajudado!