Question

sabendo que 5^2x - 3.5^x +8= 558, calcule o valoe da expressão 3x^2+ log x 16^2.​

Answer 1

Vamos utilizar a 1ª equação para determinar o valor de "x" e, então, determinar o valor da expressão solicitada.

Observando atentamente a equação, é possível identificar uma semelhança com uma equação de 2° grau.

$5^{2x}~-~3\cdot5^x~+~8~=~558$

Vamos tentar então evidenciar essa semelhança.

Começamos aplicando a propriedade das potencias de potencia:

$\left(5^x\right)^2~-~3\cdot5^x~+~8~=~558$

Perceba que se substituirmos 5ˣ por uma variável, digamos "w", vamos "transformar" a equação em uma quadrática (2° grau):

$(w)^2~-~3\cdot w~+~8~=~558\\\\\\w^2~-~3w~+~8~-~558~=~0\\\\\\\boxed{w^2~-~3w~-~550~=~0}$

Resolvendo esta equação por Bhaskara (vou omitir este calculo), chegaremos a duas raízes:  w'=25  e  w''=-22

Note, no entanto, que estas raízes atendem a equação quadrática obtida a partir da equação exponencial (inicial), ou seja, não necessariamente serão soluções da equação exponencial, precisamos verifica-las.

Sendo assim, vamos voltar com a substituição feita e fazer a verificação.

$Para~~\underline{5^x=w'}:\\\\5^x~=~25\\\\5^x~=~5^2\\\\\boxed{x~=~2}~~\checkmark\\\\\\\underline{Para~~5^x=w''}:\\\\5^x~=~-22~~\times\\\\Uma~potencia~de~base~positiva, nunca~assumir\acute{a}~valores~negativos\\Assim,~a~raiz~w''~nao~atende~a~equacao~exponencial$

Temos então raiz unica para a equação, x=2

Por fim, vamos calcular o valor da expressão solicitada.

$3x^2~+~\log_{_x}16^2~=\\\\\\=~3\cdot2^2~+~\log_{_2}16^2\\\\\\=~3\cdot4~+~\log_{_2}\left(2^4\right)^2\\\\\\=~12~+~\log_{_2}2^8\\\\\\=~12~+~8\cdot\log_{_2}2\\\\\\=~12~+~8\cdot1\\\\\\=~12~+~8\\\\\\=~\boxed{20}$

Resposta:  20