Question

Sejam ABC e DEF dois triângulos equiláteros. Sabendo que o perímetro de DEF é 3 unidades maior do que o perímetro de ABC e que sua área é o dobro da área de ABC, qual é a medida dos lados de ABC?
A) √2
B) √2 + 1
C) √3 + 1
D) √3 - 1
E) √2 - 1

Answer 1

Oi 3rpan,

Se o perímetro de DEF é 3 unidades maior que o perímetro de ABC e todos os lados têm o mesmo valor, então cada lado de DEF mede +1 unidade que cada lado de ABC.
Desse modo, se chamarmos de "a" o valor de um lado de ABC, imediatamente o lado de DEF mede a+1.

O problema ainda passa a informação que a área de DEF é o dobro da área de ABC, então precisamos encontrar um valor de relação do quadrado dos lados de DEF e ABC que seja igual à 2:
$(\frac{a+1}{a})^2 = 2 \\ \\ \frac{a^2+2a+1}{a^2}=2 \\ \\ a^2+2a+1=2a^2 \\ \\ -a^2+2a+1=0$

Resolvendo a equação do segundo grau:
$\Delta = 4-4(-1)(1) \\ \Delta = 4+4 \\ \Delta = 8\:\: ou\:\: 2 \sqrt{2} \\ \\ a' = \frac{-2+ 2\sqrt{2} }{-2} = 1+ \sqrt{2} \\ \\ a'' = \frac{-2- 2\sqrt{2} }{-2} = 1- \sqrt{2}$

Note que a possibilidade a'' é errada pois é menor que zero, o que implica que a' é o valor correto para os lados do triângulo ABC.

Bons estudos!