Question

(URGENTE PFV,PRA AMANHÃ )Sejam a circunferência λ: x^2 + y^2 – 4x + 2y – 20 = 0 e uma reta r tangente a λ no ponto (5, k) onde

k < 0.

Escreva a equação reduzida da reta r.​

Answer 1

x² + y² - 4x + 2y - 20 = 0

(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 - 20 = 0

(x - 2)² + (y + 1)² = 25

(x - 2)² + (y + 1)² = 5²

Ou seja, circunferência de centro (2, -1) e raio 5

A reta r é tangente no ponto (5, k), isto é, nesse ponto a reta toca a circunferência , então podemos substituir o valor

(5 - 2)² + (k + 1)² = 5²

3² + (k + 1)² = 5²

(k + 1)² = 25 - 9

(k + 1)² = 16

k + 1 = ±4

k' = 3

k'' = -5

Porém k < 0, portanto k = -5

Temos então uma reta que passa pelo ponto (5, -5)

Porém precisamos do coeficiente angular para isso, sabemos que a reta tangente e a reta do centro até o ponto são perpendiculares, isso é:

$m_{reta}.m_{raio}=-1$

Então vamos descobrir a reta entre o ponto (5, -5) e (2, -1)

(y - yo) = m.(x - xo)

(-1 - (-5)) = m.(2 - 5)

4 = m.(-3)

m = -4/3

Portanto

$m_{reta}.\frac{-4}{3}=-1$

$m_{reta}=\frac{3}{4}$

Agora podemos montar a reta r

(y - (-5)) = 3/4.(x - 5)

y + 5 = 3x/4 - 15/4

y = 3x/4 - 15/4 - 5

y = 3x/4 - 35/4

Multiplicando a equação por 4 e passando tudo pra um lado só

r : 4y - 3x + 35 = 0