Um fabricante está lançando a série de mesas "Super 4". Os tampos das mesas dessa série são retangulares e tem 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$25,00 e as ripas para as outras laterais custam R$30,00 por metro.Qual é a medida da cabeceira da mesa para a qual o gasto com o revestimento é o maior possível? Dê sua resposta em metros.
Respostas
O gasto máximo com o revestimento será de R$122,50 e o valor correspondente da cabeceira será de 0,5 metros.
Para resolver o problema, vamos escrever um sistema de equações de acordo com os dados do enunciado.
Lembrando que o perímetro será a soma de todos os lados do quadrilátero e a área é a multiplicação do cabeceira (x) e da laterais (y).
P = x + x + y + y
4 = 2x + 2y → y = 2 - x
A = x * y
A = x * (2 - x) = - x² + 2x
O gasto total da mesa será:
G(tampo) = A * 10 = -10x² + 20x
G(cabeceira) = 2 * x * 25 = 50x
G(laterais) = 2 * (2 - x) * 30 = - 60 x + 120
G = G(tampo)+ G(cabeceira)+G(laterais)
G = -10x² + 20x + 50x - 60x + 120
G = -10x² + 10x + 120
Sendo assim, a medida para que o gasto seja o maior possível pode ser calculada pelo valor de máximo da equação acima.
ymax = Gmax = -Δ/4a = - (b²-4ac)/4a = -(10² -4*(-10)*120)/(4*(-10))
Gmax = R$122,50
xmax = -b/2a = -10/2*(-10) = 0,5 metros
Espero ter ajudado!