Question

Se x e y são números reais não nulos tais que x²+y² =10 e xy =4. Calcule o valor numérico da expressão $\frac{y^{3} }{x} +\frac{x^{3} }{y}$

Answer 1

Temos um sistema de equações com duas incógnitas.

$\bf \left \{ {{x^2+y^2=10~~~(i)} \atop {xy=4~~~~(ii)}} \right.$

Inicialmente podemos isolar uma das incógnitas da equação (ii)

$\bf xy=4\\ \\ x=\dfrac{4}{y}$

Substituindo o x na equação (i)

$\bf (\frac{4}{y})^2+y^2=10\\ \\\frac{16}{y^2}+y^2=10\\\\16+y^4=10y^2\\\\y^4-10y^2+16=0$

Temos agora um equação de grau 4 e precisamos encontrar os possíveis valores para y, ou seja, as raízes da equação. Assim

$\bf y^2=z\\\\z^2-10z+16=0\\\\(z-8)(z-2)=0\\ \\z'=8~~ou~~z''=2\\\\\\Quando~z=8\\\\y^2=8\\y=\pm2\sqrt{2}\\\\Quando~z=2\\\\y^2=2\\y=\pm\sqrt{2}$

Esses são os valores  que y pode assumir. Agora podemos substituir os valores na equação (ii) e encontrar os valores que x pode assumir.

$\bf x=\dfrac{4}{2\sqrt{2}} =\dfrac{2}{\sqrt2} =\sqrt{2}\\\\\\x=-\dfrac{4}{2\sqrt{2}} =-\dfrac{2}{\sqrt2} =-\sqrt{2}\\\\\\x=\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \\\\\\x=-\dfrac{4}{\sqrt{2}} =-2\sqrt{2}$

Esses são os possíveis pares para o valor de x e y. Podemos escolher apenas um par e verificar o valor da expressão, pois qualquer par desses resulta no mesmo valor. Vamos então escolher o par (√2,2√2). Substituindo na expressão, temos

$\bf \dfrac{(2\sqrt{2})^3}{\sqrt{2}} +\bf \dfrac{(\sqrt{2})^3}{2\sqrt{2}} =\dfrac{8.2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =16+1=17$

Portanto, o valor da numérico da expressão é 17.