Question

Os pontos A (x, 3), B (-2, -5) e C (-1, -3) são colineares. Qual o valor de x?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x=2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos matrizes.

Sabemos que a condição de alinhamento de três pontos nos diz que  determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$ deve ser igual a zero.

O determinante deve ter a seguinte forma:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Substitua as coordenadas dos pontos $A(x,~3)$, $B(-2,-5)$ e $C(-1,-3)$ na matriz

$\begin{vmatrix}x&3&1\\-2&-5&1\\-1&-3&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizaremos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e encontrarmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da direita para a esquerda. Isto é:

$\left|\begin{matrix}x & 3 &1 \\ -2&-5 &1 \\ -1& -3 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}x&3 \\ -2 & -5\\ -1 &-3 \end{matrix}\right.=0\\\\\\\ x\cdot(-5)\cdot1+3\cdot1\cdot(-1)+1\cdot(-2)\cdot(-3)-(3\cdot(-2)\cdot1+x\cdot1\cdot(-3)+1\cdot(-5)\cdot(-1))=0$

Multiplique os valores

$-5x-3+6-(-6-3x+5)=0$

Efetue a propriedade dos sinais para retirar os termos dos parênteses

$-5x-3+6+6+3x-5=0$

Some os termos semelhantes

$-2x+4=0$

Isole $x$

$2x=4$

Divida ambos os lados por 2

$x=2$

Este deve ser o valor de x para que os pontos sejam colineares. Observe a imagem: