Question

Considere o polinômio p(x) = x4 − 3x3 + 5x 2 − x − 10 = 0 tal que p(1 − 2i) = 0.Marque a alternativa CORRETA:AO polinômio p(x) possui apenas uma raiz realBO polinômio p(x) possui apenas três raízes reais.CO polinômio p(x) não possui raiz real.DO polinômio p(x) possui apenas duas raízes reais.

#QuestõesdeConcurso

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos sobre polinômios.

Podemos ver que este polinômio tem grau 4. Utilizaremos o dispositivo prático de Briot-Ruffini para encontrarmos um polinômio de grau menor e possamos discorrer sobre a quantidade de raízes reais deste polinômio.

Seja o polinômio $p(x)=x^4-3x^3+5x^2-x-10$, nos foi dito que $p(1-2i)=0$. De acordo com o Teorema do resto, sabemos que o polinômio tem raiz em $1 - 2i$ .

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, dispomos os coeficientes da seguinte maneira:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~-3~~~~5~~~~-1~~~~10}}$

Repetimos o primeiro coeficiente e colocamos a raiz na coluna abaixo do x

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~~~-3~~~~5~~~~-1~~~~10}}\\1-2i~~|~~~~1$

O procedimento consiste em multiplicarmos o coeficiente pela raiz e somarmos ao próximo coeficiente, até chegarmos ao último. Observe:

$1\cdot(1-2i)+3=1-2i-3=-2-2i\\\\\\ \underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~~~-3~~~~~~5~~~~-1~~~~10}}\\1-2i~~|~~~~1~-2-2i$

Prossiga com o procedimento

$(-2-2i)\cdot(1-2i)+5=-2+4i-2i+4i^2+5$

Sabendo que $i^2=-1$, teremos

$(-2-2i)\cdot(1-2i)+5=3+2i-4=-1+2i\\\\\\\ \underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~~~-3~~~~~~~~~~~5~~~~-1~~~~10}}\\1-2i~~|~~~~1~-2-2i~~-1+2i$

Continue

$(-1+2i)(1-2i)-1=-1+2i+2i-4i^2-1=-2+4i+4=2+4i\\\\\\ \underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~~~-3~~~~~~~~~~~5~~~~~~-1~~~~10}}\\1-2i~~|~~~~1~-2-2i~~-1+2i~~2+4i$

Pela última vez, repita o procedimento

$(2+4i)(1-2i)-10=2-4i+4i-8i^2=2+8-10=0\\\\\\ \underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~~~-3~~~~~~~~~~~5~~~~~~-1~~~~~~10}}\\1-2i~~|~~~~1~-2-2i~~-1+2i~~2+4i~~~~0$

Os valores que encontramos serão coeficientes do polinômio de grau menor. Lembre-se que, em polinômios, se um número complexo é raiz deste polinômio, seu conjugado também é raiz. Ou seja, poderemos repetir o processo fazendo:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~-2-2i~~~-1+2i~~~2+4i}}\\\bold{1+2i}~~|~~~~1$

Para economizarmos algum tempo, teremos ao final do processo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~~~~~|~~~~1~~-2-2i~~~-1+2i~~~2+4i}}\\\bold{1+2i}~~|~~~~1~~~~-1~~~~~~~~~-2~~~~~~~~~~0$

Isto significa que as raízes restantes podem ser encontrado a partir do polinômio $x^2-x-2=0$. Porém, precisamos apenas encontrar seu discriminante Delta, pois assim saberemos quantas raízes ele tem e suas relações.

Seja um polinômio do segundo grau $ax^2+bx+c=0$, sabemos que $\Delta=b^2-4ac$. Substituindo o valor dos coeficientes, temos:

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)$

Multiplicando os valores, temos

$\Delta=9$

Conhecendo as propriedades do determinante delta para $\Delta>0$, temos a nossa resposta: D) O polinômio p(x) possui apenas duas raízes reais.