(PUC PR/2000) O 4° e 9° termos de uma progressão aritmética crescente são as raízes de x²- 8x - 9 = 0.
O 1° termo desta progressão é:
Respostas
Primeiro vamos resolver a equação
x² - 8x - 9 = 0
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-8)² - 4 . 1 . -9
Δ = 64 - 4. 1 . -9
Δ = 100
Há 2 raízes reais.
x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--8 + √100)/2.1
x'' = (--8 - √100)/2.1
x' = 18 / 2
x'' = -2 / 2
x' = 9
x'' = -1
A P.A. é crescente, então quanto maior o valor, maior deve ser o termo
Podemos dizer então que
a4 = -1
a9 = 9
Sabemos que o termo geral de uma progressão é
an = a1 + (n - 1).r
Portanto:
a4 = a1 + 3r = -1
a9 = a1 + 9r = 9
Temos então o seguinte sistema
a1 + 3r = -1
a1 + 9r = 9
Multiplicando a primeira equação por -3 temos:
-3a1 - 9r = 3
a1 + 9r = 9
Somando ambas:
-2a1 = 12
a1 = 12/-2
a1 = -6
Portanto o primeiro termo dessa progressão é -6
x² - 8x - 9 = 0
a = 1, b = - 8 e c = - 9
x = - b ± √Δ / 2a
x = - (-8) ± √(-8)² -4(1)(-9) / 2(1)
x = 8 ± √64 + 36 / 2
x = 8 ± 10 / 2
x1 = - 2/2
x1 = - 1
x2 = 18/2
x2 = 9
a4 = - 1
a9 = 9
a9 = a4 + 5r
9 = - 1 + 5r
5r = 9 + 1
5r = 10
r = 2
a4 = a1 + 3r
- 1 = a1 + 3(2)
- 1 = a1 + 6
a1 = - 1 - 6
a1 = - 7
O primeiro termo vale - 7.
Espero ter ajudado!