Question

O lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 83 cm
CALCULE a medida do raio dessa circunferência

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá,

Antes de mais eu preciso que voce se lembre que :

Os 4 pontos notáveis de um Δ (baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro) são coincidentes. Ou seja todos esses pontos notáveis podem ser representados por um único ponto.

Como todo Δ equilátero é também um Δ isósceles as propriedades dos Δ isósceles foram ''herdadas'' pelos Δ equiláteros. Existe uma propriedade dos Δ isósceles que diz que :

A sua altura, mediana e bissetriz são coincidentes (Ou seja um único segmento de reta representa todas essas cevianas).

Vamos começar calculando a altura desse Δ equilátero :

h = l√3/2

h = 83√3/2

Como as alturas de um Δ qualquer se encontram no seu ortocentro e o ortocentro de um Δ equilátero é também baricentro nós temos que :

Como o baricentro possui a propriedade de dividir a mediana em 2 segmentos sendo que :

Segmento que vai do vértice do Δ até o baricentro = 2. Segmento que vai do baricentro até um dos lados.

Chamando o segmento que vai do baricentro até um dos lados de x nós temos que :

Segmento que vai do vértice até o baricentro → 2x

Como a altura do Δ equilátero equivale ao segmento total nós podemos escrever o seguinte :

Altura = Segmento vértice → baricentro + Segmento baricentro → lado

Altura = 2x + x

Altura = 3x

3x = Altura

Substituindo o valor da altura na igualdade anterior :

          83√3                  83√3           83√3            1               83√3

3x = --------------- → x = -------------- → --------------- x ------- → x = ------------

              2                         2                  2                3                  6

                                  ---------------

                                         3

Como o raio da circunferencia circunscrita ao Δ equilátero será igual a medida do segmento que vai do vértice até o baricentro nós ficaremos com :

Raio = 2x

                    83√3                     83√3

Raio =    2. ------------ → Raio = ------------- cm

                        6                            3