20. (URGENTE)O número de vértices de um poliedro convexo que tem
36 faces, sendo 20 hexagonais e 16 heptagonais, é:
a) 80
b) 81
c) 82
d) 83
e) 84
Respostas
O número de vértices de um poliedro convexo é igual a 82, ou seja, a alternativa correta é a letra C.
Relação de Euler
A relação de Euler permite realizar calcular o número de elementos de um poliedro, sendo dada por:
V – A + F = 2
Sendo:
- V = número de vértices
- A = número de aresta
- F = número de face
Primeiramente, iremos calcular o número de arestas do poliedro:
São 20 faces hexagonais e 16 heptagonais, logo temos:
A = (20.6+16.16)/2 ⇒ A = 232/2
A = 116
Substituindo as informações da relação de Euler:
V – A + F = 2 ⇒ V – 116 + 36 = 2
V = 116 – 36 + 2
V = 82
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O poliedro tem 82 vértices (letra c)
Relação de Euler
Antes de respondermos essa questão, precisamos lembrar como é desenvolvido a Relação de Euler.
A relação de Euler é usada para determinar o número de vértices, arestas ou faces de um poliedro convexo.
A fórmula utilizada é a seguinte:
- V - A + F = 2
Em que:
- V = número de vértices
- A = número de arestas
- F = número de faces
Quando temos dois valores conhecidos, podemos encontrar o que falta através da relação de Euler, e é isso que vamos fazer com essa questão.
Vamos separar as informações disponibilizadas
- Faces = 36
- Arestas = 20 hexagonais e 16 heptagonais
Calculando primeiro as arestas, fica:
- A = (20 * 6 + 16 * 16) / 2
- A = 232 / 2
- A = 116
Agora, vamos substituir na fórmula:
V - A + F = 2
V - 116 + 36 = 2
V - 80 = 2
V = 80 + 2
V = 82
Portanto, o poliedro tem 82 vértices
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