Question

(Adaptada - ENEM) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Qual a extensão da rodovia (Km) que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? Cálculos:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{10~quil\^ometros}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Como podemos ver, existem duas empresas que oferecem um mesmo serviço com custos diferentes. Devemos prestar atenção em como montamos as duas funções custo $C(x)$ para analisarmos o que se pede.

A primeira cobra R$100.000,00 por quilômetro construído, acrescido de um valor fixo de R$350.000,00. Isto significa que o serviço terá um custo em função do total de quilômetros construídos, dada por:

$C_1(x)=100000\cdot n + 350000$

A segunda cobra R$120.000,00 por quilômetro construído, acrescido de um valor fixo de R$150.000,00. Isto significa que o serviço terá um custo em função do total de quilômetros construídos, dada por:

$C_2(x)=120000\cdot n + 150000$

Então, pede-se qual a extensão da rodovia, em quilômetros, que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas. Em outras palavras, queremos saber qual valor de $n$ fará com que as propostas tenham o mesmo custo.

Logo, igualemos as funções

$C_1(x)=C_2(x)\\\\\\ 100000n+350000=120000n+150000$

Isole $n$

$120000n-100000n=350000-150000\\\\\\ 20000n=200000$

Divida ambos os lados da equação por 20000

$n=\dfrac{200000}{20000}\\\\\\ n = 10$

Portanto, nossa resposta será:

A extensão em quilômetros da rodovia que torna indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas será de 10 quilômetros.

Answer 2

A tarefa diz que o prefeito quer construir uma rodovia e recebeu a proposta de duas empresas que prestam esse tipo de serviço. São elas:

Empresa A:

• R$ 100 000,00 por km
• R$ 350 000,00 fixo

Ou seja, 100.000x + 350.000

Empresa B:

• R$ 120 000,00 por km
• R$ 150 000,00 fixo

Ou seja, 120.000x + 150.000

"Qual a extensão da rodovia (Km) que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?"

Para resolver essa questão devemos igualar as duas equações, a fim de obter a quilometragem cujo custo seria igual em ambas empresas:

$100.000x+350.000=120.000x+150.000$

$100.000x-120.000x=150.000-350.000$

$-20.000x=-200.000$

$x=\dfrac{-200.000}{-20.000}$

$x=10\:km$

Portanto, se a prefeitura quiser construir 10km de rodovia, terá o mesmo custo nas duas empresas.

Para provar que esse resultado está certo, podemos substituir "X" nas equações por 10km. Observe:

$(100.000\times10)+350.000=(120.000\times10)+150.000$

$1.000.000+350.000=1.200.000+150.000$

$1.350.000=1.350.000$

Resposta: 10km

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