Question

O segmento AB é um diâmetro da circunferência x² + y² – 6x – 4y + 11 = 0. Se A é o ponto de coordenadas cartesianas (2, 3), então o ponto B possui coordenadas:A(4, 1)B(3, 2)C(2, 1)D(4, 3)E(2, –3)

#QuestõesdeConcurso

Answer 1

A equação da circunferência pode ser escrita da seguinte forma completando os quadrados:

$x^2-6x+3^2+y^2-4y+2^2=-11+9+4\\(x-3)^2+(y-2)^2=2$

Portanto o raio é $\sqrt2$ e o diâmetro $2\sqrt2$.

A distância entre A e B é $2\sqrt2$ pois é um diâmetro, portanto B = (x, y):

$(2\sqrt2)^2=(2-x)^2+(3-y)^2\\8=4-4x+x^2+9-6y+y^2\\x^2-4x+y^2-6y=-5\\x^2+y^2=-5+4x+6y$

Substituindo na equação da circunferência:

$-5+4x+6y-6x-4y+11=0\\-2x+2y=-6\\\boxed{x-y=3}$

Também sabemos que AB passa pelo centro da circunferência, portanto o coeficiente angular da reta AB é m:

$m = \frac{3-2}{2-3}=-1$

Escrevendo a equação da mesma reta utilizando o centro (3, 2) e o ponto B genérico (x, y):

$y-2=-(x-3)\\y=-x+5\\\boxed{x+y=5}$

Resolvendo o sistema com as equações destacadas acima:

$\left \{ {{x-y=3} \atop {x+y=5}} \right.\\2x=8 \to x = 4\\y = 1$

Portanto B = (4, 1)