Question

Calcule o determinante da matriz $n x n$ que possui zeros na diagonal secundária e todos os outros elementos igual a 1; em função de $n$

Answer 1

Resposta:

$D= (-1)^{n-1}(n-1)$

Explicação passo-a-passo:

Comecemos testando as primeiras matrizes quadradas 1x1, 2x2 e 3x3.

Matriz 1x1:

|0|=0

Matriz 2x2:

$\left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\\\end{array}\right]=-1$

Matriz 3x3:

$\left[\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right] =2$

O padrão é de que o valor do determinante é uma unidade menor do que a ordem da matriz, com o sinal alternando a cada aumento na ordem da matriz.

Então:

d=(n-1)

Como o primeiro determinante é positivo, o termo que muda o sinal será:  

$(-1)^{n-1}$

Resposta Final: $D= (-1)^{n-1}(n-1)$