Question

Determine uma função f:R→R duduas vezes diferencuavel e satisfazendo a condições : f"(x)=e^x/(1+e^x) ^2

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como $y''=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$ é uma equação separável, apenas integre duas vezes:

$\displaystyle\int \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\:dx$

Seja $u=1+e^x \rightarrow du=e^x\:dx$

$\displaystyle\int \frac{1}{u^2}\:du=-\frac{1}{u}+C_1=-\frac{1}{e^x+1}+C_{1}$

$\displaystyle\int -\frac{1}{e^x+1}+C_1\:dx$

Seja $v=e^x \rightarrow dv=e^x\:dx \rightarrow \frac{dv}{e^x}=dx \rightarrow \frac{dv}{v}=dx$

$\displaystyle -\int \frac{1}{v(v+1)}\:dv+\int C_1\:dx$

Decomponha em frações parciais:

$\displaystyle\frac{1}{v(v+1)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v+1}=\frac{A(v+1)+Bv}{v(v+1)}$

$(A+B)v+A=1$

$A=1$

$B=-1$

Logo,

$\displaystyle -\int \frac{1}{v}\:dv+\int \frac{1}{v+1}\:dv+\int C_1\:dx$

$-ln |v|+ln|v+1|+C_{1}x+C_2$

Substitua de volta:

$-ln |e^x|+ln|e^x+1|+C_{1}x+C_2$

$ln|\frac{e^x+1}{e^x}|+C_{1}x+C_2$

$ln|1+e^{-x}|+C_{1}x+C_2$

Answer 2

Resposta:

Uma das infinitas funções é:

$f(x)=ln(1+e^x)$

Explicação passo-a-passo:

Lembrando que utilizei a técnica de substituição e duas integrais simples:

∫$x^ndx$ = $\frac{x^(n+1) }{n} + c$   (elevado a (n+1)*)

∫$\frac{1}{x}$ = $ln(modulo(x)) + c$

Obs: Reforçando que ignorei as constantes por conveniência: apenas uma função foi solicitada