Question

Calcule o determinante da Matriz: com resolução [-1 -1 (raiz 3)/2 A'= 0 0 (raiz 3)/2 0 -1 (raiz 3)/2]

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det A = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos o determinante desta matriz, podemos utilizar várias fórmulas.

Porém, dada algumas características desta matriz, podemos utilizar um método simples para encontrá-lo.

Seja a matriz $A=\begin{bmatrix}-1&-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ 0&0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ 0&-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\end{bmatrix}$

Observe que os elementos abaixo do elemento $a_{11}$ são iguais a zero.

Para tornarmos uma matriz triangular, isto é: $B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&b_{22}&b_{23}\\0&0&b_{33}\\\end{bmatrix}$

Devemos utilizar a eliminação de Gauss-Jordan. Consiste em escolhermos um elemento, denominado pivô, para que ao multiplicar sua linha por uma constante e somá-la a outra, tornemos o elemento alvo igual a zero.

De acordo com o Teorema de Jacobi, este processo não altera o determinante. Então, nos resta saber qual elemento devemos selecionar.

Passe a matriz para a notação de determinante:

$\det A=\begin{vmatrix}-1&-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ 0&0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\ 0&-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\end{vmatrix}$

Observe que o termo $a_{22}=0$, logo não podemos selecioná-lo como elemento pivô. Para resolver este problema, devemos trocar uma fila por outra. Isso inverte o sinal do determinante, logo trocando a segunda coluna pela terceira:

$-\det A=\begin{vmatrix}-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&0\\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\\end{vmatrix}$

Então, escolhendo o elemento $a_{22}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ como elemento pivô, multiplique a segunda linha por $(-1)$ e some à terceira linha.

$-\det A=\begin{vmatrix}-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&0\\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\\end{vmatrix}~\rightarrow L_2\cdot(-1)+L_3\\\\\\ -\det A=\begin{vmatrix}-1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-1\\\ 0&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&0\\\ 0&0&-1\\\end{vmatrix}$

Feito o processo, podemos ver que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Isto significa que o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal, logo:

$-\det A=(-1)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-1)$

Multiplique os valores

$-\det A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Multiplique ambos os lados por $(-1)$

$\det A = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Este é o valor do determinante que procurávamos.