Question

O modulo do número complexo$\frac{2+i^{2021} }{1-i^{2023} }$ é:
a) $\frac{\sqrt{10} }{2}$
b)5$\sqrt{2}$
c)4
d)10
e)$\frac{\sqrt{10} }{10}$

Answer 1

Olá!

Logo de início, o que pode assustar são os expoentes — 2021 e 2023. Mas, podemos obter, para as potências, os mesmos resultados dividindo os seus dois últimos algarismos (21 e 23)  por 4, a fim de se obter o resto da divisão. Pois bem, os respectivos restos são 1 e 3.

Há uma propriedade das potências de base i segundo a qual:

$i^{4n}=1$ ; $i^{4n+1}=i$ ; $i^{4n+2}=-1$ e $i^{4n+3}=-i$

Assim, temos que:

$i^{2021}=i^{21}=i^{4n+1}=i\\\\i^{2023}=i^{4n+3}=-i$

n, para ambas, é igual a 5.

A fração fica, portanto:

$\frac{2+i}{1-(-i)}=\frac{2+i}{1+i}$

Para racionalizá-la, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado deste último, que é 1 - i.

$\frac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i+i-i^2}{1^2-i^2}=$

$=\frac{3-i}{2}=\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})i$

O módulo, por fim, é:

$|Z|=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=$

$\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

A resposta é a)

Espero ter ajudado!