2 — Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas (se necessário realize os cálculos). a) ( ) x ‘ = √5 e x " = —√5 são soluções da equação x2 5 = 0. b) ( ) x ‘ = 5√3 e x " = —5√3 são soluções da equação x2 10 = 0. c) ( ) A equação (x 2)2 5 = (3x 1)2 é uma equação quadrática. d) ( ) Se o discriminante de uma equação de 2o grau é negativo, a equação tem soluções no conjunto dos números reais. e) ( ) O discriminante de uma equação de 2o grau permite decidir se a equação possui ou não soluções no conjunto dos números reais.
Respostas
Resposta:
(Falsa) Resolvendo a equação x² + 5 = 0, encontramos as seguintes raízes:
x² + 5 = 0
x² = -5
x = √-5
x = ± i.√5
b) (Falsa) Da mesma forma, podemos resolver:
x² + 10 = 0
x = √-10
x = ± i.√10
c) (Verdadeira) Uma equação quadrática tem a forma ax² + bx + c = 0, logo, reorganizando:
(x + 2)² + 5 = (3x + 1)²
x² + 4x + 4 + 5 = 9x² + 6x + 1
8x² + 2x - 8 = 0
d) (Falsa) Um discriminante negativo indica duas soluções no conjunto dos números complexos.
e) (Verdadeira) Um discriminante positivo ou igual a zero garante soluções no conjunto dos números reais.
Explicação:
Resposta:
a) ( F ) x'= √5 e x'' = —√5 são soluções da equação x²+ 5 = 0.
a = 1
b = 0
c = 5
Sabemos que não é possível obter a raiz quadrada de um número negativo sem usar números imaginários, o que nos leva a concluir que não há solução real para esta equação.
b) ( F ) x ‘ = 5√3 e x ” = —5√3 são soluções da equação x² + 10 = 0.
a = 1
b = 0
c = 10
Sabemos que não é possível obter a raiz quadrada de um número negativo sem usar números imaginários, o que nos leva a concluir que não há solução real para esta equação.
c) ( V ) A equação (x + 2)²+ 5 = (3x + 1)² é uma equação quadrática.
d) ( F ) Se o discriminante de uma equação de 2º grau é negativo, a equação tem soluções no conjunto dos números reais.
Um discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é composta por números reais.
e) ( V ) O discriminante de uma equação de 2º grau permite decidir se a equação possui ou não soluções no conjunto dos números reais.
O discriminante pode ser positivo, igual a zero, ou negativo, e isso determina quantas soluções há para a equação do segundo grau dada.