Question

E=cos150 - sen 300 - tg 225 - cos 90
Determine o valor da expressão
A=1
B=-1
C=-2
D=0

Answer 1

Para podermos resolver a expressão, vamos primeiro reduzir os arcos de 150°, 300° e 225° ao 1° quadrante, ou seja, para cada um, vamos achar o arco no 1° quadrante que possui, em modulo, o mesmo seno, cosseno e tangente.

ex.: 30° e 150° são arcos com seno, cosseno e tangente de mesmo modulo.

Pra isso, vamos considerar a tabela de sinais das funções trigonométricas e a tabela que nos auxilia a achar o arco no 1º quadrante simétrico a outro no 2°, 3° ou 4° quadrante.

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\end{array}$

              $\begin{array}{c|c|c|c|}\boxed{^{Simetria~de}_{~~~Arcos}}&^{Arco~\theta~no~2^o}_{~quadrante}&^{Arco~\theta~no~3^o}_{~quadrante}&^{Arco~\theta~no~4^o}_{~quadrante}\\&&&\\^{Arco~simetrico~a~\theta}_{~~no~1^oquadrante}&^{180^\circ-\,\theta}_{\pi-\theta~rad}&^{~\theta-180^\circ}_{\theta-\pi~rad}&^{~360^\circ-\,\theta}_{2\pi-\theta~rad}\end{array}$

Vamos fazer as reduções ao 1° quadrante de cada arco separadamente.

$\boxed{cos(150^\circ)}:\\\\\rightarrow~150^\circ~est\acute{a}~no~2^\circ quadrante\\\rightarrow~Cosseno~no~2^\circ quadrante~tem~sinal~negativo\\\rightarrow~Simetrico~no~1^\circ quadrante:~180^\circ-150^\circ=\boxed{30^\circ}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{cos(150^\circ)~=\,-cos(30^\circ)}$

$\boxed{sen(300^\circ)}:\\\\\rightarrow~300^\circ~est\acute{a}~no~4^\circ quadrante\\\rightarrow~Seno~no~4^\circ quadrante~tem~sinal~negativo\\\rightarrow~Simetrico~no~1^\circ quadrante:~360^\circ-300^\circ=\boxed{60^\circ}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{sen(300^\circ)~=\,-sen(60^\circ)}$

$\boxed{tg(225^\circ)}:\\\\\rightarrow~225^\circ~est\acute{a}~no~3^\circ quadrante\\\rightarrow~Tangente~no~3^\circ quadrante~tem~sinal~negativo\\\rightarrow~Simetrico~no~1^\circ quadrante:~225^\circ-180^\circ=\boxed{45^\circ}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{tg(225^\circ)~=\,-tg(45^\circ)}$

Por fim, basta substituirmos as informações na expressão, tendo especial atenção aos sinais, e utilizar a tabela de seno, cosseno e tangente dos arcos notáveis para determinar o valor da expressão.

            $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\end{array}$

$E~=~cos(150^\circ)~-~sen(300^\circ)~-~tg(225^\circ)~-~cos(90^\circ)\\\\\\E~=~\left(\,-cos(30^\circ)~\right)~-~\left(\,-sen(60^\circ)~\right)~-~\left(\,-tg(45^\circ)~\right)~-~cos(90^\circ)\\\\\\E~=\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~-~\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)~-~\left(-1\right)~-~0\\\\\\E~=\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~+~\dfrac{\sqrt{3}}{2}~+~1\\\\\\\boxed{E~=~1}~~\rightarrow~~Letra~A$