Respostas
a) Para resolvermos todos esses problemas precisamos saber que
1:
(x + y)^{2} = {x}^{2} + 2xy + {y}^{2}(x+y)2=x2+2xy+y2
2:
{(x - y)}^{2} = {x}^{2} - 2xy + {y}^{2}(x−y)2=x2−2xy+y2
3:
(x + y)(x - y) = {x}^{2} - {y}^{2}(x+y)(x−y)=x2−y2
No caso da letra a:
\frac{ {a}^{2} - {b}^{2} }{ab + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{b(a + b)}ab+ba2−b2=b(a+b)(a+b)(a−b)
Transformei o numerador seguindo a fórmula 3 e o denominador só coloquei o b em evidência, já que ele aparecia duas vezes.
Como tenho (a+b) multiplicando em cima e em baixo posso retirá-lo da equação. Fica assim:
\frac{a - b}{b}ba−b
b)
\frac{ {a}^{2} + a }{ {b}^{2} + {b}^{2} } \times \frac{ {a}^{2} - a}{ {b}^{2} - b} \times \frac{ {b}^{2} - 1 }{ {a}^{2} - 1}b2+b2a2+a×b2−ba2−a×a2−1b2−1
Colocando a em evidência no numerador da primeira fração, b do denominador, a no numerador da segunda fração e b no denominador:
\frac{a(a + 1)}{b(b + 1)} \times \frac{a(a - 1)}{b(b - 1)} \times \frac{ {b}^{2} - 1}{ {a}^{2} - 1}b(b+1)a(a+1)×b(b−1)a(a−1)×a2−1b2−1
Utilizando a fórmula 3 na terceira fração fica:
\frac{a(a + 1)}{b(b + 1)} \times \frac{a(a - 1)}{b(b - 1)} \times \frac{(b + 1)(b - 1)}{(a + 1)(a - 1)}b(b+1)a(a+1)×b(b−1)a(a−1)×(a+1)(a−1)(b+1)(b−1)
Cancelando a+1 da primeira fração com a+1 da terceira, b+1 da primeira com b+1 da terceira, b-1 da terceira com b-1 da segunda e a-1 da segunda com a-1 da terceira sobra
\frac{a}{b}ba
c)
\frac{ {x}^{2} + xy}{xy - {y}^{2} } \times \frac{ {x}^{2} - {y}^{2} }{ {x}^{2} + {y}^{2} + 2xy }xy−y2x2+xy×x2+y2+2xyx2−y2
Colocando x em evidência no numerador da primeira fração e y no denominador, além de transformar o numerador da segunda utilizando a fórmula 3 e transformar seu denominador usando a fórmula 1:
\frac{x(x + y)}{y(x - y)} \times \frac{(x + y)(x - y)}{(x + y)^{2} }y(x−y)x(x+y)×(x+y)2(x+y)(x−y)
Cancelando x+y da primeira fração com os dois x+y da segunda e o x-y da primeira com o x-y da segunda fica:
\frac{x}{y}yx
d)
\frac{ {m}^{2} + 2mn + {n}^{2} }{ {m}^{2} - {n}^{2} }m2−n2m2+2mn+n2
Transformando o numerador seguindo a fórmula 1 e o denominador seguindo a fórmula 3
\frac{(m + n)^{2} }{(m + n)(m - n)}(m+n)(m−n)(m+n)2
Cancelando o m+n do numerador com o do denominador fica:
\frac{m + n}{m - n }m−nm+n
Espero que tenha entendido e desculpa a demora em responder (: