Question

(UFMS 2018) Em geometria existem muitas simetrias, estudos dos ângulos internos e externos de uma figura. Nesse sentido, um aluno de Matemática desenhou um pentágono regular e, a partir dos seus vértices, traçou todas as diagonais. Assim, verificou a formação de uma estrela de cinco pontas, conforme a figura a seguir: Ao somar os ângulos internos das pontas da estrela, o valor encontrado foi de: a)1.440°. b)540°. c)180°. d)108°. e) 36°.

Answer 1

Resposta:

180º (ALTERNATIVA C)

Explicação passo-a-passo:

Sendo a soma dos ângulos internos de um polígono 180 . (n - 2), então a soma dos ângulos do pentágono será 3 . 180 = 540º

Como trata-se de um pentágono regular, então todos os ângulos internos terão o mesmo valor de 540/5 = 108º

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Aqui cabe uma pausa para reflexão. Como trata-se de uma pergunta de múltipla escolha de uma Universidade Federal, um acerto pode significar muito para você. Nesse ponto, mesmo não sabendo a resposta ainda, podemos eliminar certas alternativas.

Sabemos que os a soma dos ângulos internos das estrela é obviamente menor que o total dos ângulos internos do pentágono. Com isso em mente, eliminamos as alternativas (A) e (B). Se for chutar, nessa hora suas chances aumentaram de 20% para 33% =)

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Continuando...

Se pegarmos um dos triângulos formados pelas diagonais e lados, por exemplo o triângulo BDC, temos um ângulo conhecido, o ângulo do vértice C = 108º.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º, e que os dois ângulos desconhecidos desse triângulo são iguais (vamos chamar de β).

Então temos β + β + 108 = 180 ⇒ 2β = 72 ⇒ β = 36º

Olhando novamente para o vértice C, vemos que o ângulo de 108 pode ser dividido em três partes, sendo o angulo interno de uma ponta da estrela (vamos chamar de α e, por simetria o angulo β duas vezes).

Assim temos 2.β + α = 108 ⇒ 72 + α = 108 ⇒ α = 36º

Assim, como a estrela interna tem 5 ângulos α iguais, temos que a soma desses ângulos será 5α = 5. 36 = 180º.

5 α = 180º (ALTERNATIVA C)