Question

considere a função f:R→R,tal que:

 f(xy)=f(x)+f(y) f(√3)=3
determine o valor de f(9)-f(1). 

Answer 1

Para o primeiro caso tomemos

$x = \sqrt{3}$ e $y = \sqrt{3}$ 

Pelas igualdades do problema temos:

$f(\sqrt{3} \sqrt{3}) = f(\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) = 3+3= 6$

Logo

$f(\sqrt{3} \sqrt{3}) = f(3)=6$

Repetimos o procedimento, desta vez fazendo $x = 3$ e $y = 3$:

$f(3 \cdot 3) = f(3)=6+6=12$

Concluímos que

$f(9) = 12$

Que era a primeira parte necessária para a demonstração, precisamos agora saber o valor de $f(1)$.

Para tal tomemos $x = \sqrt{3}$ e $y = 1$. Logo:

$f(1 \cdot \sqrt{3} ) = f(1) + f(\sqrt{3}) = f(1) + 3$

Como: 

$f(1\cdot\sqrt{3})=f(\sqrt{3})$ (elemento neutro da multiplicação). Podemos então apresenar a seguinte igualdade:

$f(1\cdot\sqrt{3})=f(1)+f(\sqrt{3})=f(\sqrt{3})$
$f(1)+f(\sqrt{3})=f(\sqrt{3})$
$f(1)+3=3$
$f(1)=0$

Para finalizar concluimos que:

$f(9)-f(1)=12-0=12$

Q.E.D.