Question

a circunferencia com centro c(1 ,1) é tangente à reta t DE EQUAÇÃO X+Y -10 =0 DETERMINEM A EQUAÇAO DA CIRCUNFERENCIA

Answer 1

Resposta:

$(x-1)^2+(y-1)^2=32$

Explicação passo-a-passo:

Como a reta $x+y-10=0$ é tangente a circunferência $(x-1)^2+(y-1)^2=r^2$ (circunferência de raio $r$ com centro $C(1, \: 1)$), sabemos que a distância da reta ao ponto $C$ é igual ao raio da circunferência.

Vou chamar a reta de $s$ para não confundir com o raio.

.

Para calcular a distância entre a reta e o ponto, vamos usar a seguinte fórmula:

$d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

onde a equação da reta $r$ é $ax+by+c=0$ e o ponto é $P(x_0, \: y_0)$.

.

Na nossa reta ($x+y-10=0$) temos:

$a=1$

$b=1$

$c=-10$

.

E no ponto ($C(1, \: 1)$):

$x_0=1$

$y_0=1$

.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

$d(C,s)=\frac{|1\cdot 1+1\cdot 1-10|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$d(C,s)=\frac{|1+1-10|}{\sqrt{1+1}}$

$d(C,s)=\frac{|-8|}{\sqrt{2}}$

$d(C,s)=\frac{8}{\sqrt2}$

$d(C,s)=\frac{8\sqrt2}{2}$

$d(C,s)=4\sqrt2$

.

Assim, $r=4\sqrt2$.

.

Substituindo na equação da circunferência, temos:

$(x-1)^2+(y-1)^2=r^2$

$(x-1)^2+(y-1)^2=(4\sqrt2)^2$

$(x-1)^2+(y-1)^2=16\cdot 2$

$(x-1)^2+(y-1)^2=32$