Question

Assinale a alternativa que contenha a solução da equação diferencial y"-2y'+5y=0.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=e^x\cdot(c_1\cdot\cos(2x)+c_2\cdot\sin(2x))}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem conhecida como Equação de Euler-Cauchy.

Ela assume a forma $a_n\cdot x^n \cdot \dfrac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}\cdot\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+a_0\cdot y=0$.

Então seja $n=2$

$a_2\cdot x^2\cdot \dfrac{d^2y}{dx^2}+a_{1}\cdot x\cdot \dfrac{dy}{dx}+a_0\cdot y=0$

Substituímos $y=x^m$

$a_2\cdot x^2\cdot \dfrac{d^2(x^m)}{dx^2}+a_{1}\cdot x\cdot \dfrac{d(x^m)}{dx}+a_0\cdot x^m=0$

Sabendo que $\dfrac{d}{dx}(x^m)=m\cdot x^{m-1}$ e $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^m)=m\cdot(m-1)\cdot x^{m-2}$, podemos reescrever

$a_2\cdot x^2\cdot m\cdot(m-1)\cdot x^{m-2}+a_{1} \cdot m\cdot x\cdot x^{m-1}+a_0\cdot x^m=0$

Multiplique os valores, lembrando que $a^{m}\cdot a^n=a^{m+n}$

$a_2\cdot m\cdot(m-1)\cdot x^m+a_{1} \cdot m\cdot x^m+a_0\cdot x^m=0$

Dividindo ambos os lados por $x^m$, temos

$a_2\cdot m\cdot (m-1)+a_{1}\cdot m + a_0=0$

Multiplique os valores

$a_2m^2-a_2m+a_1m+a_0=0\\\\\\ a_2m^2+(a_1-a_2)m+a_0=0$

Esta será a equação característica.

Então seja a equação $y''-2y'+5y=0$

Para encontrarmos a solução, devemos calcular as raízes da equação característica:

$r^2-2r+5=0$

Aplicando a fórmula resolutiva, temos:

$r=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot 1}$

Multiplique os valores e calcule a potência

$r=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}$

Some os valores no radicando

$r=\dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2}$

Sabendo que $i=\sqrt{-1}$ e $\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$, temos

$r=\dfrac{2\pm4i}{2}$

Simplificando a fração

$r=1\pm2i$

Logo as soluções da equação características são

$r_1=1+2i$ e $r_2=1-2i$

Como podemos ver, as raízes são complexas. Quando as raízes assumem a forma $r=a\pm bi$, temos a seguinte solução para a equação diferencial:

$y=e^{ax}(c_1\cdot \cos(bx)+c_2\cdot\sin(bx))$, tal que $a$ e $b$ são as partes reais e imaginárias das nossas raízes.

Como podemos ver, $a = 1$ e $b=2$, logo

$y=e^{x}\cdot(c_1\cdot\cos(2x)+c_2\cdot\sin(2x))$

Esta é a solução da nossa equação diferencial e é a resposta contida na opção 3.