Ajudem pfv!Indique as equações que tem as mesmas raízes. * 5 pontos
-x2 + 14x - 49 = 0 e x2 + 14x - 49 = 0
x2 + 14x - 49 = 0 e x2 - 14x - 49 = 0
-x2 + 14x - 49 = 0 e x2 - 14x + 49 = 0
-x2 - 14x - 49 = 0 e -x2 + 14x + 49 = 0 Qual é o valor de x da seguinte equação do 2º grau x2 – 4x - 5 = 0? * 10 pontos apenas 5 1 e 5 -1 e 5 Apenas -1
Respostas
-x² + 14x - 49 = 0 e x² + 14x - 49 = 0
x² + 14x - 49 = 0 e x² - 14x - 49 = 0
-x² + 14x - 49 = 0 e x² - 14x + 49 = 0
-x² - 14x - 49 = 0 e -x² + 14x + 49 = 0
Bom, as quantidades são as mesmas. A mudança está nos sinais.
Quando multiplicamos uma expressão por -1 todos os seus sinais são trocados. Assim sendo, as duas expressões que atendem a esse requisito são
-x² + 14x - 49 = 0 e x² - 14x + 49 = 0 .
Confiramos, fatorando (ou por Báskara, ou outro meio que preferir).
Lembrete: toda equação quadrada possui duas raízes. Então temos que encontrar duas, mesmo que sejam iguais.
x² - 14x + 49 = 0
(x -7)(x -7) = 0
(x -7)² = 0
x -7 = 0
x = 7
A raiz é 7, e é dupla, já que aparece elevada ao quadrado.
S = {7}
(Obs.: Quando a raiz é dupla basta escrevê-la uma vez, porque representa apenas uma abcissa no eixo x.)
-x² + 14x - 49 = 0
- (x -7)(x -7) = 0
- (x -7)² = 0
x -7 = 0
x = 7
A raiz é 7, e é dupla, já que aparece elevada ao quadrado.
S = {7}
Viu o que aconteceu?
As duas raízes da segunda equação continuam sendo ambas iguais a 7, mas a expressão está multplicada por -1.
E o que multiplicar uma equação por -1 significa? Significa que o gráfico da nova função será oposto ao gráfico da função original, porque os valores numéricos se mantêm, mas têm sinal contrário aos valores da função original. Ou seja, são funções opostas, com gráficos opostos.
Analise isso observando os gráficos dos quatro conjuntos de funções dados no problema. Repare que as raízes de cada gráfico são os pontos em que esses gráficos tocam o eixo x.
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Qual é o valor de x na equação x² -4x - 5 = 0?
Mesma coisa, está procurando o valor das raízes da equação.
Para isso, sempre igualamos a equação a zero, porque as raízes de uma equação são os valores de x que tornam a equação igual a zero. Se alguns valores de x tornam a equação igual a zero, isso quer dizer que o valor de y será zero nesses valores de x, o que faz com que o gráfico toque o eixo x nesses pontos, como falamos anteriormente.
Resumindo, quando y = 0, temos x = raízes.
Mas por que isso? Porque a forma geral da equação de 2º grau é
f(x) = ax² +bx +c, que também pode ser escrito como
y = ax² +bx +c, ou seja, f(x) = y. E se fazemos y = 0 teremos
0 = ax² +bx +c, e conseguimos achar as raízes. Pegou a ideia?? ^^)
Há! Legal!
Gosto de encontrar as raízes pela fatoração. É um processo mais simples e rápido, muito bom para quando o coeficiente a (número que acompanha o x²) é igual a 1.
x² -4x -5 = 0
(x +1)(x -5) = 0
Se uma multiplicação de fatores é igual a zero, pelos menos um dos fatores é igual a zero.
x +1 = 0
x = -1
x-5 = 0
x = 5
Portanto, os valores de x na equação x² -4x - 5 = 0 são -1 e 5 (que são suas raízes, já que a expressão está igualada a zero.)
S = {-1, 5}
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