As raízes da equação do 3º grau 5x³+31x²+31x+5=0 são reais e formam uma progressão geométrica. Determine as raízes dessa equação.
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de Relações de Girard e da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.
Seja a equação de 3º grau:
Sabemos que o produto das raízes de uma equação de 3º grau completa é dada por . Logo, aplique esta propriedade:
Simplifique a fração
Sabendo que o termo geral de uma progressão é calculado a partir da fórmula , teremos e
Substituindo estes valores, teremos
Multiplique os valores
Como vimos anteriormente, , logo
Retirando a raiz cúbica em ambos os lados da equação, temos que
Como nos foi dito que as raízes são reais, assumimos somente a solução real desta raiz cúbica:
Para encontrarmos o restante das raízes, utilizaremos o dispositivo prático de Briot Ruffini. Consiste em dispormos os coeficientes da equação sobre uma linha e determinarmos a soma e o produto destes coeficientes por um número, de forma que o resultado seja zero. Feito isso, os novos números serão coeficientes de uma equação de grau menor.
Disponha os coeficientes no dispositivo, repetindo o primeiro coeficiente:
Efetue o processo comentado acima
Multiplique e some a , pondo o resultado logo abaixo
Multiplique e some a
Multiplique e some a
Os números desta linha serão coeficiente do polinômio de grau 2:
Utilizando a fórmula resolutiva, temos:
Calcule a potência e some os termos
Decompondo o radicando em fatores primos, temos que , logo
Separe as soluções
Some os valores e simplifique as frações
Estas são as raízes desta equação.