Question

As raízes da equação do 3º grau 5x³+31x²+31x+5=0 são reais e formam uma progressão geométrica. Determine as raízes dessa equação.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{S=\left\{x\in\mathbb{R}~\biggr|~x=\left(-\dfrac{1}{5},~-1,~-5\right)\right\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar de Relações de Girard e da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

Seja a equação de 3º grau: $5x^3+31x^2+31x+5=0$

Sabemos que o produto das raízes de uma equação de 3º grau completa $ax^3+bx^2+cx+d=0$ é dada por $x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\dfrac{d}{a}$. Logo, aplique esta propriedade:

$x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\dfrac{5}{5}$

Simplifique a fração

$x_1\cdot x_2\cdot x_3=-1$

Sabendo que o termo geral de uma progressão é calculado a partir da fórmula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, teremos $x_2=x_1\cdot q$ e $x_3=x_1\cdot q^2$

Substituindo estes valores, teremos

$x_1\cdot x_1\cdot q\cdot x_1\cdot q^2=-1$

Multiplique os valores

$(x_1\cdot q)^3=-1$

Como vimos anteriormente, $x_2=x_1\cdot q$, logo

${x_2}^3=-1$

Retirando a raiz cúbica em ambos os lados da equação, temos que

$x_2=\sqrt[3]{-1}$

Como nos foi dito que as raízes são reais, assumimos somente a solução real desta raiz cúbica:

$x_2=-1$

Para encontrarmos o restante das raízes, utilizaremos o dispositivo prático de Briot Ruffini. Consiste em dispormos os coeficientes da equação sobre uma linha e determinarmos a soma e o produto destes coeficientes por um número, de forma que o resultado seja zero. Feito isso, os novos números serão coeficientes de uma equação de grau menor.

Disponha os coeficientes no dispositivo, repetindo o primeiro coeficiente:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~5~~~~31~~~~31~~~~5}}\\~~-1~~|~~~~5$

Efetue o processo comentado acima

Multiplique $5\cdot (-1)$ e some a $31$, pondo o resultado logo abaixo

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~5~~~~31~~~~31~~~~5}}\\~~-1~~|~~~~5~~~~26$

Multiplique $26\cdot(-1)$ e some a $31$

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~5~~~~31~~~~31~~~~5}}\\~~-1~~|~~~~5~~~~26~~~~~5$

Multiplique $5\cdot(-1)$ e some a $5$

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~5~~~~31~~~~31~~~~5}}\\~~-1~~|~~~~5~~~~26~~~~~5~~~~0$

Os números desta linha serão coeficiente do polinômio de grau 2: $5x^2+26x+5=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, temos:

$x=\dfrac{-26\pm\sqrt{26^2-4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5}$

Calcule a potência e some os termos

$x=\dfrac{-26\pm\sqrt{676-100}}{10}\\\\\\ x=\dfrac{-26\pm\sqrt{576}}{10}$

Decompondo o radicando em fatores primos, temos que $576=24^2$, logo

$x=\dfrac{-26\pm24}{10}$

Separe as soluções

$x_1=\dfrac{-26+24}{10}~~~ou~~~~x_3=\dfrac{-26-24}{10}$

Some os valores e simplifique as frações

$x_1=-\dfrac{1}{5}~~~ou~~~x_3=-5$

Estas são as raízes desta equação.