Question

considere a curva que tem equacao x^3 + y^3 = 9xy e o ponto (3 , 5) pertence a esta curva. Encontre a derivada dy/dx para a funcao y= f(x) definida implicitamento por esta curva e determine a equacao da reta tangente a curva no ponto dado

Answer 1

$(x^3+y^3)'=(9xy)'\\ \\ 3x^2+3y^2y'=9y+9xy'\\ \\ y'(3y^2-9x)=9y-3x^2\\ \\ y'=\dfrac{9y-3x^2}{3y^2-9x}$

la curva no pasa por (3,5)

Supongamos que pase por $(x_0,y_0)$ entonces la recta tangente en este punto es

$\boxed{y-y_0=\dfrac{9y_0-3x_0^2}{3y_0^2-9x_0}(x-x_0)}$

siempre y cuando $3y_0^2-9x_0\neq 0$