Question

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Calcule a derivada de f(x) = x3 e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x3 no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto.

Answer 1

Resposta:

f(x)=x³  ==>f'(x)=3x²  ==> f(-1)=3*(-1)²= 3 é o coeficiente angular

f(x)=x³ ==>f(-1)=(-1)³ =-1  ...ponto ==>(-1,-1)

y=ax+b ==>forma da equação reduzida da reta

-1=3*(-1)+b ==>b=2

y=3x+2 é a equação reduzida da reta tangente a curva f(x)=x³ no ponto (-1,-1)

Equação geral da reta ==> 3x-y+2=0

Answer 2

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do terceiro grau - função cúbica - pelo ponto dado é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 3x + 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                        $\Large\begin{cases} f(x) = x^{3}\\x = -1\end{cases}$

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da referida função pelo ponto de abscissa "-2" devemos utilizar a equação da reta em sua forma "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x- x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de abscissa especificada, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[(-1)^{3}\right] = \left[3\cdot1\cdot(-1)^{3 - 1}\right]\cdot\left[x - (-1)\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 1 = \left[3\cdot1\right]\cdot\left[x + 1\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 1 = 3\cdot\left[x + 1\right]\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 1 = 3x + 3\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3x + 3 - 1\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3x + 2\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 3x + 2\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$