Question

Dada a função f(x)=x²-5x-14/x³+x²-2x determine, se existir, o limite limx → -2f(x)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{-\dfrac{3}{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos este limite, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Sabemos que se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis e logo, contínuas em $c$, o limite $\underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$.

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com as formas $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{x^2-5x-14}{x^3+x^2-2x}$.

Lembre-se das regras de derivação:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, isto é: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando a regra de l'Hôpital, temos:

$\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{x^2-5x-14}{x^3+x^2-2x}=\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{(x^2-5x-14)'}{(x^3+x^2-2x)'}$

Aplicando a primeira regra de derivação discutida acima, temos

$\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{(x^2)'-(5x)'-(14)'}{(x^3)'+(x^2)'-(2x)'}$

Aplicando as demais regras, teremos

$\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{2x-5}{3x^2+2x-2}$

Então, como dito anteriomente, $\underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, logo:

$\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{2x-5}{3x^2+2x-2}=\dfrac{2\cdot (-2)-5}{3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$\dfrac{-4-5}{3\cdot4-4-2}\\\\\\ \dfrac{-4-5}{12-4-2}$

Some os valores

$-\dfrac{9}{6}$

Simplifique a fração por um fator $3$

$-\dfrac{3}{2}$

Este é o valor do limite.