Question

1. Ache todos os números reais para $\dfrac{8^x + 27^x}{12^x + 18^x} = \dfrac{7}{6}$​.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{x \in \{-1; 1 \}}}$

Explicação passo-a-passo:

(Intro) Está é uma questão bastante simples de álgebra, não precisamos recorrer a inúmeras ferramentas matemáticas, basta o domínio de alguns casos notáveis e um pouco (pouquinho) de técnicas de manipulação, rsrsrs, vamos lá trocar isso por miúdos, matematicamente (claro), rsrsrs,

Observando a equação, temos que,

$\dfrac{8^x + 27^x}{12^x + 18^x} = \dfrac{7}{6}$.

Colocando a equação numa forma mais compacta, ficamos,

$\dfrac{(2^x)^3 + (3^x)^2}{(2^x)^{2} \red{*} 3^x + (2^x)^{2} \red{*} 3^x} = \dfrac76$

Daí que surge a necessidade de substituição para uma fácil observação do comportamento da equação, observe, adoptemos que $2^x = a$ e $3^x = b$ (note que essa substituição não é obrigatório, isto apenas permitirá um procedimento mais prático e ágil), destarte, ficámos com,

$\iff \dfrac{\green{a^3 + b^3}}{a^2b + ab^2} = \dfrac76$

Observe, temos um caso notável (soma de cubos), que também pode ser representado da seguinte maneira, veja,

$\iff \dfrac{\cancel{\green{(a +b)}}~~\red{*}(a^2 - ab + b^2)}{ab\red{*}\cancel{(a + b)}} = \dfrac76$

$\iff 6(a^2 - ab + b^2) = 7ab~~~, \mathsf{\underline{com, ~ab \neq 0}}$

$\iff 6a^2 - 6ab + 6b^2 = 7ab$

$\iff 6a^2 - \green{13ab} + 6b^2 = 0$

$\iff 6a^2 \green{- 4ab - 9ab} + 6b^2 = 0$

$\iff 2a\red{(3a - 2b)} - 3b\red{(3a - 2b)} =0$

$\iff (2a - 3b) \red{(3a - 2b)} = 0$

Daí que surge,

$\iff \begin{cases} 2a - 3b = 0 \\ 3a - 2b = 0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 2a = 3b \\ 3a = 2b \end{cases}$

(Deste modo) me livro das incógnitas $a$ e $b$, colocando o seu valor original, logo, perceberas que,

$\iff \begin{cases} 2^{x + 1} = 3^{x + 1} \\ 3^{x - 1} = 2^{x - 1} \end{cases}$

D'onde concluímos que, $\boxed{x \in \{-1; 1 \}}$.

Espero ter colaborado! $\red{@\underline{\mathbb{ZIBIA}}}$

(Qualquer dúvida, deixe seu comentário) =!