Question

Se z1 e z2 pertencem ao campo complexo, prove que o número W = z1 . z2' + z1 . z2' é um número real.

obs.: considere z1' como sendo o conjugado de z1, e o mesmo para z2', ou melhor, ' <= representa o conjugado, obg.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{w \in \mathbb{R}}$

Explicação passo-a-passo:

(i) Conceitos introdutórios

Considerando o plano $\mathbb{R}^2 = \{x, y\} | x,y \in \mathbb{R}$, com os números complexos $z_1 = x_1 + iy_1$ e $z_2 = x_2 + iy_2$, a igualdade entre os números complexos $z_1$ e $z_2$ ocorre se, e somente se, $x_1 = x_2$ e $y_1 = x_2$, lembrando que $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$.

• Para qualquer que seja o número complexo $z$, é válida a relação, $z = \overset{=}{z}$ (o conjugado do conjugado de um dado complexo $z$ é esse mesmo complexo)

Uma outra proposição importantíssima para a resolução do problema é conhecer a veracidade da seguinte relação,$z = \overline{z}$, caso se verifique essa igualdade, então $z \in \mathbb{R}$, provar esta relação é bem simples, observe.

• Seja um número complexo $z = x + yi$, evidentemente que o seu conjugado será, $\overline{z} = x - yi$, lembrando que, $x,y \in \mathbb{R}, i^2 = -1$, então,

$z = \overline{z} \iff x + \green{y}i = x - \green{y}i$

$x + \green{2y}i = x + \green{0}i$

Por conseguinte,

$\green{2y} = \green{0} \iff \boxed{y = 0}$

Daí que surge, $z = x \in \mathbb{R}$

Portanto, a minha resolução se baseará neste princípio, procede a mesma.

(ii) Respondendo a questão

Temos o seguinte número W, (queremos provar que este número é real, apesar de $z_1$ e $z_2 \in \mathbb{C}$ )

$w = z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2$, onde $z_1$ e $z_2 \in \mathbb{C}$

Encontrando o conjugado do número W, ficámos com,

$\overline{w} = \overline{z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1}z_2}$

O conjugado de uma soma de dois complexos é a soma dos conjugados,

$\overline{w} = \overline{z_1 \overline{z_2}} + \overline{\overline{z_1}z_2}$

Destarte,

$\overline{w} = \overline{z_1}z_2 + z_1\overline{z_2}$

D'onde percebe-se claramente que, $w = \overline{w}$, e por conseguinte, $\boxed{w \in \mathbb{R}}$

Espero ter colaborado! $\red{@\underline{\mathbb{ZIBIA}}}$