PRA HOJE, VALENDO 10 PONTOS
estude os sinais das seguintes funções do 2° grau
Respostas
Explicação passo-a-passo:
Uma equação de segundo grau é formada pôr:
F(x) = Ax² + Bx + C
Onde A é o número que fica na frente do x², B é o número que fica na frente do x e C é o número que não vem acompanhado de X.
Vemos pegar como exemplo a função do item a):
Em a) temos:
F(x) = x² - 8x + 12
O quando não temos nenhum número na frente de x ou de x² consideramos que esse número é 1 logo podemos escrever a F(x) como sendo:
F(x) = 1x² - 8x + 12
O número na frente do x² é o 1 logo A é igual a 1, o número na frente de x é o -8 logo B é igual a -8, o número sem x é igual a 12 logo C é igual a 12.
A primeira coisa para se determinar os sinais da função é determinar os valores de x para y igual a 0. Para isso igualamos a função a zero e aplicamos bhaskar.
1x² - 8x + 12 = 0
A fórmula de bhaskar nós diz que:
x = (-B ± √(B² - 4AC))/2A
Vimos acima que A = 1, B = -8 e C = 12. Agora substituímos esses valores na equação acima para descobrirmos os valores de x em que y será igual a zero.
x = (-(-8) ± √(8² - 4*1*12) )/2*1
x = (8 ± √(64 - 48) )/2
x = (8 ± √16)/2
x = (8 ± 4)/2
x' = 12/2 = 6
x" = 4/2 = 2
Agora vou te ensinar as relações:
Se tu tem dois valores de X e A positivo, então:
y sera negativo para x entre x' até x". y sera positivo para x maior que que x' e para x menor que x" e será igual a zero em x' e x".
Se tu tem dois valores de X e A negativo é que nem o que foi descrito acima só invertendo os negativos pelos positivos e os positivos pelos negativos.
Para esse caso do item a):
y será positivos para x menor que 2, será negativo para x entre 2 e 6, será positivo para x maior 6 e será igual a zero para x Igual a 2 e 6.
Para B temos que:
F(x) = -x² + 8x -12
A = -1
B = 8
C = -12
Aplicando bhaskar:
x =( -(8) ± √(8² - 4(-1)(-12)) )/2(-1)
x = (-8 ± √(64 - 48))/-2
x = (-8 ± 4)/-2
x' = (-8 + 4)/-2 = -4/-2 = 2
x" = (-8 - 4)/-2 = -12/-2 = 6
Logo y sera negativo para x menor que 2, será positivo para x entre 2 e 6, sera negativo para x maior que 6 e será zero para x Igual a 2 e 6.
Para c):
F(x) = x² - 4x - 12
A = 1
B = -4
C = -12
Aplicando bhaskar:
x = (-(-4) ± √(-4)² - 4(1)(-12)) )/2*1
x = (4 ± √(16 + 48) )/2
x = (4 ± √64)/2
x = (4 ± 8)/2
x' = (4 + 8)/2 = 6
x" = (4 - 8)/2 = -4
Como Temos dois valores de X para Y igual a 0 e como A é positivo:
y será positivo para x menor que -4, será negativo para x entre -4 e 6, será positivo para x maior que 6, e será zero para x Igual a -4 e 6.
Se na fórmula de bhaskar der uma raiz negativa então a função será positiva para qualquer x se A for positiva e negativa para qualquer x se A for Negativa.
Se na formula de bhaskar der uma raiz igual a zero a função será igual a zero para o valor obtido por bhaskar e será positiva para todos os demais valores se A for positivo e negativo para todos os demais valores.
Qualquer dúvida é só perguntar.
Gabarito:
d) Y será igual a zero para x = 3 e negativo para todos os demais valores de X.
e) Y sera positivo para qualquer valor de X.
f) Y sera igual a zero em x = 0 e negativo para todos os demais valores de X.
g) Y será negativo para x menor que -1, será positivo para x entre -1 e 1, será negativo para x maior que 1 e será igual a zero para x igual a -1 e 1.
h) Y será positivo para x menor que -3, será negativo para x entre -3 e 0, será positivo para x maior que 0 e será igual a zero para x Igual a -3 e 0.
i) Y sera positivo para x menor que -3, será negativo para x entre -3 e 2, será positivo para x maior que 2 e dera zero para x Igual a 2 e -3.
j) Y será negativo para x menor que -1.5 , sera positivo para x entre -1.5 e 1, sera negativo para x maior que 1 e será igual a zero para x Igual 1 e para x Igual a -1.5.