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Resposta: 158
Explicação passo-a-passo:
Olá,
* dados:
A1 = -2
A2 = 6
A3 = 14
* primeiro vamos calcular a razão “r” dessa PA:
r = A2 - A1
r = 6 - (-2)
r = 6 + 2
r = 8
* sabendo que a razão é r= 8 vamos calcular o valor do 21º termo dessa PA, utilizando a fórmula do termo geral, veja:
An = A1 + (n-1)•r
A21 = -2 + (21-1)•8
A21 = -2 + 20•8
A21 = -2 + 160
A21 = 158
bons estudos!
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (-2, 6, 14,...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 8 unidades (por exemplo, 6=-2+8 e 14=6+8). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -2
d)vigésimo primeiro termo (a₂₁): ?
e)número de termos (n): 21
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 21ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do vigésimo primeiro termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, aproximando-se e depois afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, haja vista que o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 6 - (-2) ⇒
r = 6 + 2 ⇒
r = 8 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₁ = -2 + (21 - 1) . (8) ⇒
a₂₁ = -2 + (20) . (8) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₁ = -2 + 160 ⇒
a₂₁ = 158
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
RESPOSTA: O vigésimo primeiro termo da P.A. (-2, 6, 14, ...) é 158.
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₁ = 158 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
158 = a₁ + (21 - 1) . (8) ⇒
158 = a₁ + (20) . (8) ⇒
158 = a₁ + 160 ⇒
158 - 160 = a₁ ⇒
-2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -2 (Provado que a₂₁ = 158.)
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