Question

3-) Uma hipérbole tem focos F1(-5,0) e F2(5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0. O triângulo com vértices em F1 , P e Q tem área igual a: * 0 pontos a-) 16√7/3 b-) 16√7/5 c-) 32√7/3 d-) 8√7/3 e-) 8√7/5

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{16\sqrt{7}}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos de cônicas.

A hipérbole é uma cônica gerada a partir do corte paralelo ao eixo de dois cones invertidos. A partir de algumas informações, podemos descobrir sua equação reduzida.

Quando os focos estão nas coordenadas $(-c,~0)$ e $(c,~0)$, sua equação é dada por:

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, tal que $c^2=a^2+b^2$, $a$ é a metade da medida do eixo real e $b$ é a metade da medida do eixo imaginário.

O vértice da hipérbole, nestas condições, estão nos pontos $(-a,~0)$ e $(a,~0)$.

Visto que a hipérbole tem focos em $(-5,~0)$ e $(5,~0)$ e passa pelo ponto $(3,~0)$, isto significa que $c=5$ e $a=3$.

Dessa forma, $5^2=3^2+b^2$

Calculando as potências

$b^2+9=25$

Subtraindo 9 em ambos os lados da equação

$b^2=16$

Substitua os valores na equação reduzida:

$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$

Para descobrirmos as coordenadas do ponto $Q~(4,~y)$, substituímos $x=4$.

$\dfrac{4^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$

Calcule a potência

$\dfrac{16}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$

Multiplique ambos os lados por $144$, que é o denominador comum

$256-9y^2=144$

Subtraia 256 em ambos os lados da equação

$-9y^2=-112$

Divida ambos os lados por $(-9)$

$y^2=\dfrac{112}{9}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados

$y=\pm~\sqrt{\dfrac{112}{9}}$

Sabendo que $\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$, temos

$y=\pm~\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{9}}$

Decompondo o radicando em fatores primos, temos que $112=2^4\cdot 7$ e $9=3^2$, logo

$y=\pm~\dfrac{\sqrt{2^4\cdot7}}{\sqrt{3^2}}\\\\\\ y=\pm~\dfrac{2^2\cdot\sqrt{7}}{3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$y=\pm~\dfrac{4\sqrt{7}}{3}$

Nos foi dito que $y>0$, logo a solução será:

$y=\dfrac{4\sqrt{7}}{3}$

Por fim, para encontrarmos a área do triângulo com vértices em $F_1~(-5,~0)$, $P~(3,~0)$ e $Q~\left(4,~\dfrac{4\sqrt{7}}{3}\right)$, utilizamos matrizes.

A área será dada pela fórmula:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}-5&0&1\\ 3&0&1\\4&\dfrac{4\sqrt{7}}{3}&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias. Então:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\left|\begin{matrix}-5 & 0 &1 \\ 3&0 &1 \\ 4& \dfrac{4\sqrt{7}}{3} & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}-5&0\\ 3 & 0\\ 4 &\dfrac{4\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.\right|\\\\\\ S=\dfrac{1}{2}\cdot \left((-5)\cdot0\cdot1+0\cdot1\cdot4+1\cdot3\cdot\dfrac{4\sqrt{7}}{3}-\left(0\cdot3\cdot1+(-5)\cdot1\cdot\dfrac{4\sqrt{7}}{3}+1\cdot0\cdot4\right)\right)$

Multiplique e some os valores

$S=\dfrac{1}{2}\cdot \left(4\sqrt{7}-\left(-\dfrac{20\sqrt{7}}{3}\right)\right)$

Aplique a propriedade de sinais

$S=\dfrac{1}{2}\cdot \left(4\sqrt{7}+\dfrac{20\sqrt{7}}{3}\right)\right)$

Some as frações

$S=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{12\sqrt{7}+20\sqrt{7}}{3}\right)\right)\\\\\\\ S=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{32\sqrt{7}}{3}$

Multiplique as frações

$S=\dfrac{16\sqrt{7}}{3}$

Esta é a área do triângulo e é a resposta contida na letra a).